一元二次方程的整数根（有理根）
对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．主要方法有：
1、从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；
如某些方程能直接用“十字相乘”进行分解因式，从而求出解的
2、从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(如方程有有理根时设△=k2，进行平方差等进行分解因式的)，通过穷举，逼近求解； 3、从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；（特别适用非整系数的）
4、从变更主元入手，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解． 如：某些方程的系数恰为两次，又如根不具体要求，而要求整系数等 说明：1、一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．
2、有些代数式的整数情况可以有引如参数法构造方程，利用求其整数根的方法进行解决。
3、解题的关键是分析方程与系数的特点，结合对根的具体要求进行选择。
本讲结合例题来讲解一些主要的方法．
【应用精讲】
一、从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解 例1 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根．
解法1 首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得
由于x1，x2是正整数，所以
m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，
解得m=2．这时x1=6，x2=4．
解法2 首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知
所以m-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即
m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，
2
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只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5． 经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根． 说明 一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法． 例2 已知关于x的方程
a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0
(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．
分析 “至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．
解 因为a≠0，所以
所以
所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5． 注：1、你可以对其进行分解因式吗？
2、换主元可以吗？能写出与此题等价的问题吗？又如何解 解：
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二、引入参数
例3 设m是不为零的整数，关于x的二次方程
mx2-(m-1)x＋1＝0
有有理根，求m的值．
解 一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令
Δ=(m-1)2-4m＝n2，
其中n是非负整数，于是
m2-6m+1=n2，
所以 (m-3)2-n2=8，
(m-3＋n)(m-3-n)＝8．
由于m-3＋n≥m-3-n，并且
(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)
是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以
说明 一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．
例4 关于x的方程
ax2+2(a-3)x+(a-2)=0
至少有一个整数解，且a是整数，求a的值． 解 当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．
当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式
Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)
为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，
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要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10． 综上所述，a的值为2，-4，-10．
说明 本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．
三、韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数 例5 已知关于x的方程
x2＋(a-6)x＋a=0
的两根都是整数，求a的值．
解 设两个根为x1≥x2，由韦达定理得
从上面两式中消去a得
x1x2+x1+x2＝6，
所以 (x1＋1)(x2+1)=7，
所以a=x1x2=0或16．
说明 利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的． 例6 求所有有理数r，使得方程
rx2+(r+1)x＋(r-1)=0
的所有根是整数．
分析 首先对r=0和r≠0进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去． 解
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