117?1??1?2（3）P{?X?}??3xdx???????；
421/42464????219?2?2（4）P{X?}??3xdx?1????。
327?3?2/35. 一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已
知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。 解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A，“另一只也是红球”记为事件B。则事件A的概率为
131/23322215P(A)?2?????（先红后白，先白后红，先红后红）
43436所求概率为
21?P(AB)431P(B|A)???
5P(A)566. 一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。 解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B。根据全概率公式有
P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?10%?85%?90%?4%?12.1%， 所以，根据条件概率得到所要求的概率为 P(B|A)?P(BA)P(B)P(A|B)10%(1?85%)???17.06%
P(A)1?P(A)1?12.1%即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.
7. 在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。
解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A，“一讯息是可信的”记为事件B。根据Bayes公式，所要求的概率为
P(B|A)?P(AB)P(B)P(A|B)95%?1???99.9947%P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)95%?1?5%?0.1%8. 计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打
字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？
解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M，“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件N1,N2,N3。则根据全概率公式有
P(M)??P(N)P(M|N)?0.6?0.01?0.3?0.05?0.1?0.04?0.025，
iii?13根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为
P(N1|M)?P(N1)P(M|N1)0.6?0.01??0.24，
P(M)0.025P(N2)P(M|N2)0.3?0.05??0.60，
P(M)0.025P(N3)P(M|N3)0.1?0.04??0.16。
P(M)0.025P(N2|M)?P(N3|M)?9. 在一批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的
次品数的数学期望。
解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为
31221C10C2C10C2C10691， 。 p0?3?， p1??p??2332222C1211C12C12所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为
E?6911?0??1??2?(台)。 1122222
10. 在美国，致命的汽车事故所占的比例X的概率密度为
?42x(1?x)5,0?x?1f(x)??，
其他?0,求X的数学期望。
??1251解：E(X)???26 xf(x)dx?42x(1?x)dx??7xd(1?x)???00????7x(1?x)=1/4。
2?61???14x?(1?x)?dx???2xd?(1?x)???2x(1?x)67000117101??2(1?x)7dx011. 以X表示某一工厂制造的某种器件的寿命（以小时计），设X~N(?,1296)，今取得一容量为n?27的样本，测得其样本均值为x?1478，求（1）?的置信水平为0.95的置信区间，（2）?的置信水平为0.90的置信区间。
解：这是一个方差已知的正态总体均值的区间估计问题。根据标准的结论，?的置信水平为1??的置信区间为??x?????Z?/2??。 n?（1）?的置信水平为0.95的置信区间为
??1296?1478??Z48?1.96??1478?13.58???1464.42,1491.58?。 0.025??1478??27????（2）?的置信水平为0.90的置信区间为
??1296?1478?Z0.05??1478?48?1.645??1478?11.40???1466.60,1489.40?。 ??27????12. 以X表示某种小包装糖果的重量（以g计），设X~N(?,4)，今取得样本（容量为： n?10）
55.95, 56.54, 57.58, 55.13, 57.48, 56.06, 59.93, 58.30, 52.57, 58.46 求?的置信水平为0.95的置信区间。 解：计算得：x?56.8。
?的置信水平为0.95的置信区间为
??4?56.8??Z0.025??56.8?0.4?1.96??56.8?1.24???55.56,58.04?。 ?10????
13. 一农场种植生产果冻的葡萄，以下数据是从30车葡萄中采样测得的糖含量（以某种单位计）
16.0, 15.2, 12.0, 16.9, 14.4, 16.3, 15.6, 12.9, 15.3, 15.1 15.8, 15.5, 12.5, 14.5, 14.9, 15.1, 16.0, 12.5, 14.3, 15.4 15.4, 13.0, 12.6, 14.9, 15.1, 15.3, 12.4, 17.2, 14.7, 14.8 设样本来自正态总体N(?,?)，?,?均未知。求?的置信水平为90%的置信区间。 解：?,?的无偏估计值为
2221n??x?14.72， s?(xi?x)2?1.9072。 ??n?1i?12?的置信水平为90%的置信区间为
????s1.38075?x?t(n?1)???14.72??1.6991?0.05??????14.72?0.428???14.292,15.148?n30????
14. 一油漆商希望知道某种新的内墙油漆的干燥时间。在面积相同的12块内墙上做试验，记录干燥时间（以分计），得样本均值x?66.3分，样本标准差s?9.4分。设样本来自正态总体N(?,?)，?,?均未知。求干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间。 解：这是一个方差未知的正态总体均值的区间估计问题。根据已知结论，干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间为
22???s9.4??x?t(n?1)??66.3??2.2010????66.3?5.97???60.33,72.27?。 0.025??n12????
16. 设X是春天捕到的某种鱼的长度（以cm计），设X~N(?,?)，?,?均未知。下面是X的一个容量为n?13的样本：
13.1, 5.1, 18.0, 8.7, 16.5, 9.8, 6.8, 12.0, 17.8, 25.4, 19.2, 15.8, 23.0
求?的置信水平为0.95的置信区间。 解：根据题中数据计算可得s?37.75。
222?2的置信水平为0.95的置信区间为 ?(n?1)s2???2(n?1),?0.025?(n?1)s2?,2??0.025(n?1)?(n?1)s2??12?37.7512?37.75????,???19.41,102.86?， 2?23.3374.404?0.975(n?1)???(n?1)s2???2?0.975(n?1)??所以?的置信水平为0.95的置信区间为
?19.41,102.86??4.406,10.142?。
?17. 《美国公共健康》杂志（1994年3月）描述涉及20143个个体的一项大规模研究。文章
说从脂肪中摄取热量的平均百分比是38.4%（范围是6%到71.6%），在某一大学医院进行一项研究以判定在该医院中病人的平均摄取量是否不同于38.4%，抽取了15个病人测得平均摄取量为40.5%，样本标准差为7.5%。设样本来自正态总体N(?,?)，?,?均未知。试取显著性水平??0.05检验假设：H0:??38.4,22H1:??38.4。
解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于双边检验问题， 检验统计量为
t?40.5?38.47.5/15x?38.4s/n。
代入本题具体数据，得到t??1.0844。
检验的临界值为t0.025(14)?2.1448。
因为t?1.0844?2.1448，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设H0，即认为平均摄取量显著地为38.4%。
19. 一制造商声称他的工厂生产的某种牌号的电池的寿命的方差为5000（小时2），为了检验这一主张，随机地取26只电池测得样本方差为7200小时2，有理由认为样本来自正态总
2体。现需取??0.02检验假设H0:??5000,H1:?2?5000。
解：这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验。 检验统计量为
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