-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------
由得
所以曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积
S=|2x0|-=6,为定值.
【探究创新】
2
13.(2018·武夷山高二检测)已知直线x-2y-4=0与抛物线y=x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在抛物线的弧AOB上求一点P,使△ABP的面积最大,并求最大值. 解:设P(x0,y0),过点P作与AB平行的直线为l, 如图,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程组,得
得x-12x+16=0,x1+x2=12, x1x2=16, 所以|AB|=
|x1-x2|
2
=·=·=10,
要使△ABP的面积最大,只要点P到AB的距离最大,而P点是抛物 线的弧AOB上的一点,因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的 切点,
由图知点P在x轴上方,y=,y′=,
由题意知kAB=.
所以kl==,即x0=1,
所以y0=1.所以P(1,1).
又点P到直线AB的距离d===,
金戈铁制卷
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所以S△PAB=×|AB|·d=×10×=5.
.
故所求点为P(1,1),△ABP的面积最大值为5
金戈铁制卷
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