第一章 特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的定义和性质
1．经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系．
2．体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理的能力． 3．在证明菱形的性质和运用性质定理解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力．
重点
理解并掌握菱形的概念与性质定理． 难点
菱形性质定理的证明及运用．
一、情境导入
课件出示教材第2页情境图，提出问题：
你能从这几幅图中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？ 学生：图片中有八年级学过的平行四边形．
教师：请同学们观察，这些平行四边形与下图的平行四边形ABCD相比较，还有什么不同点吗？
学生：这些平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等．
教师：同学们观察得很仔细．像这样，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
二、探究新知 1．菱形的性质
教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质．你能列举一些这样的性质吗？
学生：菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分．
教师：同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流． 学生讨论交流后，教师点评．
教师：请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：
(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
(2)菱形中有哪些相等的线段？
学生分小组进行折纸活动后讨论交流，回答问题，教师点评，并进一步讲解：
①菱形是轴对称图形，有两条对称轴．对称轴是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直．②菱形的四条边相等．
2．证明菱形的性质
教师：通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明．
课件出示：
已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证：(1)AB＝BC＝CD＝AD；(2)AC⊥BD.
分析：①菱形不仅对边相等，而且邻边相等，这样就可以证明菱形的四条边都相等．
②因为菱形是平行四边形，所以点O是对角线AC与BD的中点；又因为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”来证明结论．
学生写出证明过程，进行组内交流对比，教师点评． 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AD＝BC(菱形的对边相等)． 又∵AB＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD. (2)∵AB＝AD，
∴△ABD是等腰三角形． 又∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分)． 在等腰三角形ABD中， ∵OB＝OD， ∴AO⊥BD，
即AC⊥BD. 三、举例分析
例 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长．
分析：①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°，所以可以得到等边△ABD，BD＝6，菱形的边长也是6.
②由菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△AOB；由菱形的对角线互相平分，可以得到OB＝3，根据勾股定理可以求出OA的长度；再一次根据菱形的对角线互相平分，即AC＝2OA，求出AC的长．
解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD(菱形的四条边相等)， AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，
11
OB＝OD＝BD＝×6 ＝3(菱形的对角线互相平分)．
22在等腰三角形ABD中，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形． ∴AB＝BD＝6.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得 OA2＋OB2＝AB2，
∴OA＝AB2－OB2＝62－32＝33.
∴AC＝2OA＝63(菱形的对角线互相平分)． 四、练习巩固
教材第4页“随堂练习”． 五、小结
1．什么叫做菱形？ 2．菱形有哪些性质？
六、课外作业
教材第4～5页习题1.1第1～4题．
本节课的主要教学内容为菱形的定义和性质．学生已经学习了平行四边形的性质，这是本节课的知识基础．关于菱形的定义和性质，就是在平行四边形的基础上进一步强化条件得到的．课堂上通过折纸活动，让学生直观地感知图形的特点，激发学生学习的兴趣和积极性，教师要引导学生积极思考，抓住表面现象中的本质．在性质的证明和应用过程中，教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较，优化证明方法，有利于提高学生的逻辑思维水平．
第2课时 菱形的判定
1．探索证明菱形的判定方法，掌握证明的基本要求、方法及思路．
2．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．
3．经历实际操作，探索菱形判定定理的证明过程，发展合情推理的能力．
4．在具体问题的证明过程中，有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想，提高学生解决问题的能力．
重点
菱形判定定理的证明及应用． 难点
菱形的判定方法的综合运用．
一、复习导入
1．菱形的定义是什么？ 2．菱形有哪些性质？
教师：同学们对菱形的性质都掌握得很好，那么怎样判定一个四边形是菱形呢？这就是我们这节课所要研究的内容．
二、探究新知
1．菱形的判定方法一
教师：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这可以作为菱形的第一种判定方法．
2．菱形的判定方法二
课件出示：用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．
教师转动木条，提出问题：
(1)转动木条，这个四边形总有什么特征？
(2)继续转动木条，什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形？
引导学生猜想：当木条互相垂直时，平行四边形的一组邻边相等，此时四边形为菱形．
教师：你能证明你的猜想吗？
学生独立完成，指名板演，教师点评．
已知：如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD. 求证： ?ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC. 又∵AC⊥BD，
∴BD是线段AC的垂直平分线． ∴BA＝BC.
∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)． 3．菱形的判定方法三
教师：已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？
学生独立尝试作图，教师点评，并进一步讲解用尺规作菱形的方法：
1
如图，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次
2连接A，B，C，D.
教师：你能说明得到的四边形为什么是菱形吗？
学生小组讨论交流，找到原因：该四边形四边相等． 教师：你能证明四边相等的四边形是菱形吗？ 学生独立完成，指名板演，教师点评．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA. 求证： 四边形ABCD是菱形．
证明：∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义).
教师：你能用折纸等办法得到一个菱形吗？ 学生动手操作，教师巡视指导．
三、举例分析
例 已知：如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，OA＝2，OB＝1. 求证：?ABCD是菱形．
思考：(1)观察题目中的数据，AB，OA，OB有什么数量关系？
(2)利用勾股定理的逆定理能否判定△ABO是直角三角形？
(3)如果可以得到直角三角形，那么利用菱形的哪一个判定定理进行判断？ 四、练习巩固
1．教材第7页“随堂练习”． 2．教材第7页习题1.2第1题．
五、小结
1．怎样判定一个四边形是菱形？
2．通过本节课的学习，你还学到了哪些知识？ 六、课外作业
教材第7页习题1.2第2，3题．
在本节课中，课前复习为本节课的探究作了有效的铺垫．学生资源的灵活运用提高了学生参与探究的兴趣，证明思路的分析过程让学生体会了逆向思维、一题多解等数学思想．另外，学生通过经历试验—猜想—证明—应用的探索过程提高了自身的科学素养．
第3课时 菱形的性质与判定的应用
1．能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法． 2．经历菱形的性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法．
重点
菱形的性质定理与判定定理的综合应用及菱形面积的求法． 难点
等宽纸条交叉部分为菱形的证明及菱形面积的综合应用．
一、复习导入
1．如图①，在菱形ABCD中，AB＝6. (1)求AD，DC，BC的长．
(2)对角线AC与BD有什么位置关系？ (3)若∠ADC＝120°，求AC的长．
图①
图②
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