天津市河西区2019届高三下学期总复习质量调查(二)数学(文)试题(二模)(含答案)

?（19）本小题满分14分.

111??. ……………13分 2(n?1)?2n?12（Ⅰ）解：由已知得a?c?1，即a?a2?3?1，解得a?2，所以c?1，

x2y2c1??1 . ……………………5分 得e??，椭圆方程为43a2（Ⅱ）解： 设直线l的斜率为k?k?0?，则直线l的方程为y?k?x?2?，

?y?k?x?2??设B?xB,yB?由方程组?x2y2，消去y，

?1??3?42222整理得?4k?3?x?16kx?16k?12?0

8k2?6解得x?2或x?，

4k2?3?8k2?6?12k?所以B点坐标为??4k2?3,4k2?3??.

??由（Ⅰ）知，F?1,0?，设H?0,yH?，有FH???1,yH?，

?9?4k212k?BF???4k2?3,4k2?3??，由BF?HF,则BF?FH?0，

??4k2?912kyH9?4k2??0，解得yH?所以，

4k2?34k2?312k19?4k2因此直线MH的方程为y??x?，设M?xM,yM?，

k12k?y?k?x?2?220k?9?2消去y，解得x?由方程组?， M19?4k2??12k?1y??x??k12?在?MAO中，?MOA??MAO?MA?MO，

20k2?9?1， 即?xM?2??y?x?y，化简得xM?1，即212k?122M2M2M??解得k??66，或k?. 44所以，直线l的斜率的取值范围为???,?（20）本小题满分14分.

????6??6?.………14分 ?,?????4??4?322（Ⅰ）解：由函数f?x??x?tx?1的导数为f??x??3x?2tx，由f??x??0，

得x?0,x?2t，因函数f?x?在?0,1?上无极值点， 3

所以

223t?0或t?1，解得t?0或t?. ……………………3分 332（Ⅱ）证明令f??x??3x?2tx?p，即3x?2tx-p?0，??4t?12p，

222

t222当p??时，??4t?12p?0，此时3x?2tx-p?0存在不同的两个解x1,x2,

3

设这两条切线方程为分别为

232y?3x12?2tx1x?2x13?tx12?1和y?3x2?2tx2x?2x2?tx2?1，

???3?若两切线重合，则-2x1?tx1?1?-2x2?tx2?1， 即2?x1?x2??x1x2?t?x1?x2?，

2322??t22t而x1?x2?，化简得x1x2?，

93此时?x1?x2???x1?x2?224t24t2?4x1x2???0与x1?x2矛盾，

，99所以，这两条切线不重合，

综上，对任意实数t，函数f（x）的图象总存在两条切线相互平行.……………8分

（Ⅲ）解：当t?3时，f?x??x?3x?1，f??x??3x?6x，

322由（Ⅱ）知x1?x2?2时，两切线平行．

设Ax1,x1?3x1?1，Bx2,x2?3x2?1，不妨设x1?x2， 过点A的切线方程为：y?3x1?6x1x?2x1?3x1?1 所以，两条平行线间的距离d??32??32??2?32?x2?x1??2?x1?x2?2?2x1x2?3?x1?x2??1?9x12?2x1??2

化简得?x1?1??1?9?x1?1??1

623令?x1?1??????0?，则?-1?9??-1?，

2222即??-1?????1?9??-1?，即??-1??-8??10?0

2??2????显然??1为一解，?-8??10?0有两个异于1的正根，

所以这样的?有解3，而?x1?1??????0?，x1?x2，x1?x2?2，

22

所以x1有3解，所以满足此条件的平行切线共有3组. ……………………14分