【详解】
证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°，
?AB?AC?在△ABP和△ACQ中，??ABP??ACQ ∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
?BP?CQ?（2）∵△ABP≌△ACQ， ∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ， ∵∠BAP+∠CAP=60°， ∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°， ∴△APQ是等边三角形. 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了正三角形的判定，本题中求证，△ABP≌△ACQ是解题的关键.
21．线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm． 【解析】
试题分析：在Rt△BED中可先求得BE的长，过C作CF⊥AE于点F，则可求得AF的长，从而可求得EF的长，即可求得CD的长． 试题解析：∵BN∥ED， ∴∠NBD=∠BDE=37°， ∵AE⊥DE， ∴∠E=90°，
∴BE=DE?tan∠BDE≈18.75（cm）， 如图，过C作AE的垂线，垂足为F，
∵∠FCA=∠CAM=45°， ∴AF=FC=25cm， ∵CD∥AE，
∴四边形CDEF为矩形， ∴CD=EF，
∵AE=AB+EB=35.75（cm）， ∴CD=EF=AE-AF≈10.8（cm），
答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确地添加辅助线构造直角三角形是解题的关键. 22．证明见解析. 【解析】
试题分析：根据矩形的性质得出DC//AB,DC?AB,求出CF?AE,CF//AE,根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形,即可得出答案. 试题解析：
∵四边形ABCD是矩形， ∴DC//AB,DC?AB, ∴CF//AE, QDF?BE， ?CF?AE，∴四边形AFCE是平行四边形，
?AF?CE.
点睛：平行四边形的判定：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 23．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）?【解析】 【分析】
（1）把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线表达式求得b，c，即可得出抛物线的解析式；
n）（2）作CH⊥EF于H，设N的坐标为（1，，证明Rt△NCH∽△MNF，可得m＝n2+3n+1，因为﹣4≤n≤0，即可得出m的取值范围；
（3）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则点H（﹣x1，y1），设直线HQ表达式为y＝ax+t，用待定系数法和韦达定理可求得a＝x2﹣x1，t＝﹣2，即可得出直线QH过定点（0，﹣2）． 【详解】
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、C， 把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入，得：?5?m?5； （3）当k发生改变时，直线QH过定点，定点坐标为（0，﹣2）4?0?1?b?c，
??3?c?b??2解得?，
c??3?∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图，作CH⊥EF于H， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标E（1，﹣4）， 设N的坐标为（1，n），﹣4≤n≤0 ∵∠MNC＝90°， ∴∠CNH+∠MNF＝90°， 又∵∠CNH+∠NCH＝90°， ∴∠NCH＝∠MNF， 又∵∠NHC＝∠MFN＝90°， ∴Rt△NCH∽△MNF， ∴
CHHN1n?3?? ，即NFFM?n1?m23?5?解得：m＝n2+3n+1＝?n???，
2?4?∴当n??53时，m最小值为?； 24当n＝﹣4时，m有最大值，m的最大值＝16﹣12+1＝1． ∴m的取值范围是?5?m?5． 4（3）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）， ∵过点P作x轴平行线交抛物线于点H， ∴H（﹣x1，y1）， ∵y＝kx+2，y＝x2， 消去y得，x2﹣kx﹣2＝0， x1+x2＝k，x1x2＝﹣2， 设直线HQ表达式为y＝ax+t，
将点Q（x2，y2），H（﹣x1，y1）代入，得?∴y2﹣y1＝a（x1+x2），即k（x2﹣x1）＝ka， ∴a＝x2﹣x1，
∵x2＝（ x2﹣x1）x2+t， ∴t＝﹣2，
∴直线HQ表达式为y＝（ x2﹣x1）x﹣2，
∴当k发生改变时，直线QH过定点，定点坐标为（0，﹣2）．
2?y2?ax2?t，
?y1??ax1?t
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求二次函数的最值、待定系数法求一次函数的解析式、（2）问通过相似三角形建立m与n的函数关系式是解题的关键． 24．（1）k=1、a=2、b=4；（2）s=﹣
32157t﹣ t﹣6，自变量t的取值范围是﹣4＜t＜﹣1；（3）Q（﹣，2235） 3【解析】 【分析】
（1）根据题意可得A（-4，0）代入抛物线解析式可得a，求出抛物线解析式，根据B的横坐标可求B点坐标，把A，B坐标代入直线解析式，可求k，b
（2）过P点作PN⊥OA于N，交AB于M，过B点作BH⊥PN，设出P点坐标，可求出N点坐标，即可以用t表示S．
（3）由PB∥CD，可求P点坐标，连接OP，交AC于点R，过P点作PN⊥OA于M，交AB于N，过D点作DT⊥OA于T，根据P的坐标，可得∠POA=45°，由OA=OC可得∠CAO=45°则PO⊥AB，根据抛物线的对称性可知R在对称轴上．设Q点坐标，根据△BOR∽△PQS，可求Q点坐标． 【详解】 （1）∵OA=4 ∴A（﹣4，0） ∴﹣16+8a=0 ∴a=2，
∴y=﹣x2﹣4x，当x=﹣1时，y=﹣1+4=3， ∴B（﹣1，3），
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