【金榜原创】2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.6对数函数
一、对数式的化简与求值 对数的化简与求值的基本思路
（1） 利用换底公式及，尽量地转化为同底的和、差、积、商运算；
（2） 利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算； （3） 约分、合并同类项，尽量求出具体值。
对数运算的一般思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并.
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用 对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
〖例1〗计算
2(log32?log92)?(log43?log83)； (lg2)?lg2?lg50?lg25；（1）（2）
lg5?lg8000?(lg23)211lg600?lg0.036?lg0.122（3）
22?(lg2)?(1?lg5)lg2?lg5?(lg2?lg5?1)lg2?2lg5 解：（1）原式
?(1?1)lg2?2lg5?2(lg2?lg5)?2；
?(（2）原式
lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3?)?(?)?(?)?(?)lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg2 3lg25lg35??2lg36lg24；
2?
（3）分子=lg5(3?3lg2)?3(lg2)?3lg5?3lg2(lg5?lg2)?3；
(lg6?2)?lg分母=
3616??lg6?2?lg?4100010100；
3?原式=4。
二、比较大小 1、相关链接
（1）比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成。 ①a>1,f(x)>0.g(x)>0,则logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0; ②0 （2）比较两个同真数对数值的大小，可先确定其底数，然后再比较。 ①若a>b>1，如图1. 当f(x)>1时，logbf(x)>logaf(x); 当0 ②若1>a>b>0,如图2。 当f(x)>1时，logbf(x)> logaf(x); 当1>f(x)>0时，logaf(x)> logbf(x). ③若a>1>b>0。 当f(x)>1时，则logaf(x)> logbf(x); 当0 ①作差（商）法；②利用函数的单调性；③特殊值法（特别是1和0为中间值） 2、例题解析 〖例〗对于0?a?1，给出下列四个不等式： ①loga(1?a)?loga(a?); ②loga(1?a)?loga(1?)； ③a④a1?a1a1a?a1?1a1a; ;其中成立的是（ ） 1?a?a1?（）①与③（）①与④（）②与③（）②与④ 分析：从题设可知，该题主要考查y?logax与y?a两个函数的单调性，故可先考虑函数的单调性，再比较大小。 11?1111?a解答：选。∵0 aaax注：（1）画对数函数图象的几个关键点 共有三个关键点： （2）解决与对数函数有关的问题时需注意两点 ①务必先研究函数的定义域； ②注意对数底数的取值范围。 （3）比较对数式的大小 ①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较； ②当底数不同，真数相同时，可转化为同底（利用换底公式）或利用函数的图象，数形结合解决； ③当不同底，不同真数时，则可利用中间量进行比较。 三、对数函数图象与性质 1、相关链接 （1）对数函数的性质是每年高考必考内容之一，其中单调性和对数函数的定义域是热点问题。其单调性取决于底数与“1”的大小关系。 （2）利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”。即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决。 （3）与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 ①确定定义域； ②弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x) ③分别确定这两个函数的单调区间； ④若这两个函数同增或同减，则y=f(g(x))为增函数，若一增一减，则y=f(g(x))为减函数，即“同增异减”。 2、例题解析 〖例1〗已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1) (1)求f(x)的定义域； (2)讨论函数f(x)的单调性. 思路解析：(1)本题求f(x)的定义域，但由于在条件中已知函数的解析式，所以，在求解方法上，可以考虑函数的真数大于零，解不等式.(2)本题求f(x)的单调性，但由于在条件中已知函数为复合函数，所以在解题方法上，可用复合函数求其单调性. 解析：(1)使f(x)=loga(ax-1)有意义，则ax-1>0，即ax>1， 当a>1时，x>0；当0 ∴当a>1时，函数的定义域为 {x|x>0}； 当0 ∴loga(a1?1)?loga(a2?1)， ∴f(x1) ∴当a>1时，函数f(x)在(0,+∞)上为增函数； xxxxxx 当0 xxxx2?1， ∴loga(a1?1)?loga(a2?1)∴f(x1) 方法提示：利用复合函数（只限由两个函数复合而成的）判断函数单调性的方法 （1） 找出已知函数是由哪两个函数复合而成的； （2） 当外函数为对数函数时，找出内函数的定义域； （3） 分别求出两函数的单调区间； （4） 按照“同增异减”确定函数的单调区间； （5） 研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行。 〖例2〗设函数f?x???1?x??2ln?1?x?. 2xx(1)求f?x?的单调区间; ?1?x???1,e?1??e?时,(其中e?2.718?)不等式f?x??m恒成立,求实数m的取值范围; (2)若当 2??fx?x?x?a在区间?0,2?上的根的个数. x(3)试讨论关于的方程: 1?2x?x?2??f??x??2??x?1???????1,??,x?1x?1. 1分 ??解 （1）函数的定义域为 ?由f?x??0得x?0; 2分 ?由f?x??0得?1?x?0, 3分 则增区间为?0,???,减区间为??1,0?. 4分 (2)令 f??x?? ?1?2x?x?2??1,0?0,????fxex?0??上递减,在?0,e?1?上递增, x?1得,由(1)知在 6分 ?1?112f??1??2?2,e?2??222??fe?1?e?2ee?e由?,且, 8分 ?1??x???1,e?1??e?时,f?x? 的最大值为e2?2,故m?e2?2时,不等式f?x??m恒成立. 9分 2??fx?x?x?a,即x?1?2ln?1?x??a.记g?x??x?1?2ln?1?x?,则 (3)方程 g??x??1?2x?1?1?xx?1.由g??x??0得x?1;由g??x??0得?1?x?1.
相关推荐：
loading