习题七

习题七

一、1、某学院把它所开设的课程分为4个领域，每个系部的某些课程被指定为“基础课程”，系部以及它们各自的基础课程的数目分别为：人文科学20，外国语言8，社会科学16，自然科学17.每个学生必须从4个系部中至少三个系部选修各一门课程，问学生有多少种方式来满足这一要求？

解 学生必须从四个系部中至少三个系部各修一门课程，所以学生可选课程的种数为

2、从某班学生中任选一名学生，设A为“选到一名女生”，B为“选到一名数学爱好者”，C为“选到一名歌手”.（1）用文字表述ABC；（2）在什么条件下，ABC＝A；（3）

A?B且A?C何时成立.

20?16?8?17?20?16?8?20?16?17?20?8?17?16?8?17?56416

解 （1）ABC表示该生是爱好数学的男生，但不是歌手； （2）ABC?A?A?BC,表示全班女生都是爱好数学的歌手；

（3）A?B且A?C?A?B?C，表明选到的女生一定是爱好数学者，但不是歌手.同时如选到的如不是歌手，则一定是爱好数学的女生.

3、某地发行《语文报》、《数学报》和《英语报》三种报纸，据统计，订购《语文报》的占45％，订购《数学报》的占35％，订购《英语报》的占30％，同时订购《语文报》、《数学报》的占10％，同时订购《语文报》、《英语报》的占8％，同时订购《数学报》、《英语报》的占5％，三种报纸都订的占3％，求下列事件的概率：A＝｛只订购《语文报》的｝；B＝｛只订购一种报纸的｝；C＝｛至少订购一种报纸的｝；D＝｛三种报纸都不订购的｝.

解 P(A)?0.45?〔0.10+0.08-0.03〕=0.3；

P(B)?0.30?0.23?0.20?0.73;

P(C)?0.45?0.35?0.30?0.10?0.08?0.05?0.03?0.90; P(D)?1?P(C)?1?0.90?0.10.

4、某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射人7人，四级射手1人.一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别为0.9，0.7，0.5,0.2，试求

（1）任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率；

（2）如任选一名射手通过选拔进入比赛，求该射手为一级射手的概率. 解 （1）由全概率公式得

P?420?910?820?710?720?510?120?210?0.645;（2）由贝叶斯公式得

4P?2010?0.280.645 ?9

5、一次考试采用选择题，每道题有4个可供选择的答案，其中只有一个是正确的，做

完课外作业的学生肯定能认出正确答案，如果一个漏做了课外作业的学生，他就随机地挑一个答案.假设全班有三分之二的学生做完了课外作业，在评定考卷时，教师注意到学生甲给出了第一道题的正确答案，问学生甲做了课外作业的概率是多大？

解 设A1＝｛任选1人作完课外作业｝，A2＝｛任选1人未作完课外作业｝，B＝｛任选1人给出正确答案｝.

则由贝叶斯公式得

2P(A1/B)?P(A1)P(B|A1)P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?323?113?14?89.?1?

6、社会上定期发行某种奖券，每券1元，中奖率为p，某人每次购买1张奖券，如果没有中奖下次再继续购买1张，直到中奖为止，求该人购买奖券数的概率分布.

解 设“??k”表示购买k次，前k-1次都未中奖，而第k次中奖，故?的概率分布为

P(??k)?(1?p)1k?17、一位教师对8名学生的高考成绩进行猜测，如果说教师猜对每名学生成绩的可能性均为4，问

（1）平均能猜对几名学生的成绩？

（2）猜对6名或6名以上学生成绩的概率是什么？

解 （1）设?为猜对的学生的个数，则?服从二项分布，其期望为即老师平均能猜到2名学生的成绩.

k1k38?kP(??6)??C8()()?0.0042.k?644（2）

8p. k?1,2,?

E??np?8?14?2.即猜对6名或6名以上学生成绩的概率为0.0042.

8、已知某省有86 582名考生参加1998年全国普通高校招生入学理科数学考试，总体成绩服从均值为66分、标准差为19.79分的正式分布，试问下列范围内的人数有多少？

（1）60分～72分； （2）72分以上.

解 设?为某学生数学成绩.

（1）某学生数学成绩落入60分～72分的概率为：

60?66??6672?66??66P(19.79?19.79?19.79)?P(?0.3?落入60分－72分间的人数为：86582×0.2358＝20416（人）；

（2）某学生数学成绩大于72分的概率为

??6672?66P(?)?P(z?0.3)?1?P(z?0.3)?1??(0.3)19.7919.79

?1?0.6179?0.3821， （其中z为标准正态变量）

? 落入72分以上的人数为：86582×0.3821=33083（人）.

9、某地参加数学奥林匹克学校入学考试人数为2000人，已知只招收500人，抽查结果表明考试的平均成绩为75分，标准差为7分，试问录取分数线应为多少（设成绩服从正态分布）？

??75解 因为成绩服从正态分布，作变换

P(z?7,?

?0.3)19.79

?2?(0.3)?1?2?0.6179?1?0.2358.

所以

?0.25??757?z0)?5002000

查表得 z0?0.68

7由求得录取分数线x0?7?0.68?75?80（分）.

10、考虑一位雇主正在面试求职申请者，直到他找到一个有大学学历的申请者为止.假定有10％的求职者满足这一要求，还假设求职者的面试是随机排序的.因此，一位特定的申请者是一位有大学学历的概率是1／10.现求：

Z0?x0?75（1）雇主要面试6个申请者的概率；

（2）在雇主找到一位具有大学学历的申请者之前，他预期应有多少申请者需要他去面试？

解 设?为雇主要面试的申请者的人数. 则（1）

P(??6)?(?910)?9)5110(?0.059;1)?10

1010（2）因为（人）

故雇主预期有10人去面试.

11、已知全班20名同学中有8人学过日语，现从全班任选3人参加中日友好活动，试求所选的3人中平均有几个人学过日语？其方差值是多少？

解 设?为所选3人中学过日语的人数.

k?1E(?)??k(k?13E(?)??kC8C12C320k3?k?1.2（1）

k?0，即所选的3人中平均有1人学过日语.

C20（2） 12、假定每位学生生日在各个月份的机会是同样的，求三位同学生日在第一季度的平均人数.

k?0D(?)?E(?)?(E?)??k223C8C123k3?k?(1.2)?0.644.2,12解 由题意知，某学生生日落在第一季度的概率为则三位同学生日在第一季度的平

3均人数为

E??3?312?0.75（人），即大约有1人.