第三章 离散傅里叶变换（DFT）
1. 如图P3-1所示，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。
图 P3-1 分析
利用DFS的定义求解。
55?jnk~nk解：由X(k)??x(n)W6??x(n)e6
n?0n?02?k62?2k62?3k62?4k62?5k6
2??14?12e?j?10e?j?8e?j?6e?j?10e?j
计算求得
~~~ X(0)?60, X(1)?9?j33, X(2)?3?j3 ~~~ X(3)?0, X(4)?3?j3 , X(5)?9?j33
~~%2. 设x(n)?R4(n)，x(n)?x((n))6，试求X(k)，并做图表示~x(n),X(k)。 分析
利用DFS的定义求解。
55?jnk?jk?j~nk~解： 由 X(k)??x(n)W6??~x(n)e6?1?e3?en?0n?02??2?k3?e?j?k
计算求得
~~~ X(0)?4, X(1)??j3, X(2)?1
~~~ X(3)?0, X(4)?1, X(5)?j3
~~x(n),X(k)如图P3-2所示。
图 P3-2
3. 已知x(n)是N点有限长序列，X(k)?DFT[x(n)]。现将长度变成rN点的有限长序列y(n)
?x(n),0?n?N?1 y(n)??
N?n?rN?1?0,试求rN点DFT[y(n)]与X(k)的关系。 分析
利用DFT定义求解，y(n)是rN点序列，因而结果相当于在频域序列进行插值。 解：由X(k)= DFT[x(n)]??x(n)en?0N?1n?0N?1?j2?nkN，0?k?N?1
N?1n?0可得 Y(k)?DFT[y(n)]??y(n)W ??x(n)en?0N?1?j2?knNlnkrNnk ??x(n)WrNk?X()， k?lr,l?0,...,N?1
r 所以在一个周期内，Y(k)的抽样点数是X(k)的r倍（Y(k)的周期为Nr），相当于在X(k)的每两个值之间插入r-1个其他的数值（不一定为零），儿当k为r烦人整数l
k倍时，Y(k)与X()相等。
r4. 已知x(n)是N点有限长序列，X(k)?DFT[x(n)]，现将x(n)的每两点之间补进
r-1个零值点，得到一个rN点的有限长序列y(n)
?x(nr),n?ir,i?0,1,...,N?1 y(n)??
else?0,试求rN点DFT[y(n)]与X(k)的关系。 分析
离散时域每两点间插入r-1个零值点，相当于频域以N为周期延拓r次，即Y(k)周期为rN。
nk解：由 X(k)= DFT[x(n)]??x(n)WN， 0?k?N?1
n?0N?1可得 Y(k)?DFT[y(n)]??y(n)Wn?0N?1nkrN??x(irr)Wn?0N?1nkrN??x(i)Wnk，0?k?rN?1
n?0N?1而 Y(k)?X((k))NRrN(k)
所以Y(k)是将X(k)（周期为N）延拓r次形成的，即Y(k)周期为rN。
5. 频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样，计算了512个抽样的DFT，试确定频谱抽样之间的频率间隔，并证明你的回答。 分析
利用频域抽样间隔F0和时域抽样频率fs，以及抽样点数N的关系fs?NF0。 证明
由 fs??s?， F0?0 2?2? 得
fs?s ?F0?0其中?s是以角频率为变量的频谱周期，?0是频谱抽样之间的频谱间隔。
又
fs?s??N F0?0fs N则 F0?对于本题有 fs?8kHz ，N?512
8000?15.625Hz 5126. 设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任
所以 F0?何特殊数据处理措施，要求频率分辨力?10 Hz，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms，试确定：(1)最小记录长度；(2)所允许处理的信号的最高频率；(3)在一个记录中的最少点数。 分析
抽样间隔T和抽样频率fs满足fs?1/T,记录长度T0和频域分辨力F0的关系为
T0?1F0。抽样定理为fs?2fh(fh为信号最高频率分量),一个记录中最少抽样总数N满足
N?解： （1）因为T0?1，而F0?10Hz，所以 F0T0f2f?s?h TF0F01s 10 即最小记录长度为0.1s。
11?103?10kHz，而 （2）因为fs??T0.1 T0? fs?2fh
所以
1fs?5kHz 2即允许处理的信号的最高频率为5 kHz。
T0.1?103?1000，又因N必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少点数（3）N?0?T0.1 fh?为N?210?1024。
7. 令X(k)表示N点序列x(n)的N点离散傅里叶变换， （1）证明如果x(n)满足关系式x(n)??x(N?1?n)，则X(0)?0。 （2）证明当N为偶数时，如果x(n)?x(N?1?n)，则X(N2)?0。 分析
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