2020-2021上海中考数学压轴题专题复习——相似的综合

2020-2021上海中考数学压轴题专题复习——相似的综合

一、相似

1．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．

（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；

（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标； （3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO． 【答案】 （1）解：如图1，

∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴， ∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∵AB=2，AB⊥OC， ∴AC=BC=1，∠BOC=30°， ∴OC=

， ），

）代入抛物线y=ax2（a＞0）中得：a=

；

∴A（-1， 把A（-1，

（2）解：如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，

∵CF∥BG， ∴

，

∵AC=4BC， ∴ =4， ∴AF=4FG， ∵A的横坐标为-4， ∴B的横坐标为1，

∴A（-4，16a），B（1，a）， ∵∠AOB=90°， ∴∠AOD+∠BOE=90°， ∵∠AOD+∠DAO=90°， ∴∠BOE=∠DAO， ∵∠ADO=∠OEB=90°， ∴△ADO∽△OEB， ∴ ∴

， ，

∴16a2=4， a=± ， ∵a＞0， ∴a= ； ∴B（1， ）；

（3）解：如图3，

设AC=nBC，

由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍， 则设B（m，am2），则A（-mn，am2n2）， ∴AD=am2n2 ， 过B作BF⊥x轴于F， ∴DE∥BF， ∴△BOF∽△EOD， ∴ ∴ ∴ ∴

∵OC∥AE， ∴△BCO∽△BAE， ∴ ∴ ∴CO= ∴DE=CO．

【解析】【分析】（1）抛物线y=ax2关于y轴对称，根据AB∥x轴，得出A与B是对称点，可知AC=BC=1，由∠AOB=60°，可证得△AOB是等边三角形，利用解直角三角形求出OC的长，就可得出点A的坐标，利用待定系数法就可求出a的值。

（2）过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，根据平行线分线段成比例证出AF=4FG，根据点A的横坐标为﹣4，求出点B的横坐标为1，则A（-4，16a），B（1，a），再根据已知证明∠BOE=∠DAO，∠ADO=∠OEB，就可证明△ADO∽△OEB，得出对应边成比例，建立关于a的方程求解，再根据点B在第一象限，

，

， =am2n， ， ， ，DE=am2n，

，

确定点B的坐标即可。

（3）根据（2）可知A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（-mn，am2n2），得出AD的长，再证明△BOF∽△EOD，△BCO∽△BAE，得对应边成比例，证得CO=am2n，就可证得DE=CO。

2．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：

（1）求证：△BEF∽△DCB；

（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2 ，（3）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由． 【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ AD∥BC，

在 中，

∵

别是

的中点，

∴EF∥AD，

∴ EF∥BC，

∴

∴

（2）解：如图1，过点Q作

于 ，

∴QM∥BE， ∴

求t的值；

∴ ∴

（舍）或

秒

（3）解：当点Q在DF上时，如图2，

∴ ∴

.

，如图3，

当点Q在BF上时，

∴ ∴

时，如图4，

∴ ∴

时，如图5，

∴ ∴

综上所述，t=1或3或 或 秒时，△PQF是等腰三角形

【解析】【分析】（1）根据题中的已知条件可得△BEF和△DCB中的两角对应相等，从而可证△BEF∽△DCB；（2）过点Q作 QM⊥EF 于 M ，先根据相似三角形的预备定理可证△QMF ∽ △BEF；再由△QM F ∽ △BEF可用含t的代数式表示出QM的长；最后代入三角形的面积公式即可求出t的值。（3）由题意应分两种情况：（1）当点Q在DF上时，因为 ∠PFQ为钝角，所以只有PF = QF 。（2）当点Q在BF上时，因为没有指明腰和底，所以有 PF=QF；PQ = FQ；PQ = PF 三种情况，因此所求的t值有四种结果。

3．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现

①当α=0°时， =________；②当α=180°时， =________． （2）拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长． 【答案】（1）

；

（2）解：如图2，

，

当0°≤α＜360°时， 的大小没有变化， ∵∠ECD=∠ACB， ∴∠ECA=∠DCB， 又∵

，

∴△ECA∽△DCB， ∴

（3）解：①如图3，

，

∵AC=4 ∴AD=

∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC= P，

．

②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点

，CD=4，CD⊥AD，

，

∵AC= ∴AD=

∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE=

∴AE=AD-DE=8-2=6， 由（2），可得

，

=2，

，CD=4，CD⊥AD，

，

∴BD=

．

或

．

综上所述，BD的长为

【解析】【解答】（1）①当α=0°时， ∵Rt△ABC中，∠B=90°， ∴AC=

，

∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴ ∴

②如图1，

,BD=8÷2=4， ．

，

当α=180°时， 可得AB∥DE， ∵ ∴

，

【分析】（1）①当α=0°时，Rt△ABC中，根据勾股定理算出AC的长，根据中点的定义得出AE,BD的长，从而得出答案；②如图1，当α=180°时，根据平行线分线段成比例定理得出AC∶AE=BC∶BD,再根据比例的性质得出AE∶BD=AC∶BC,从而得出答案。

（2）当0°≤α＜360°时， A E∶ B D 的大小没有变化，由旋转的性质得出∠ECD=∠ACB，进而得出∠ECA=∠DCB，又根据EC∶DC=AC∶BC=

,根据两边对应成比例，及夹角相等的三

;

角形相似得出△ECA∽△DCB，根据相似三角形对应边成比例得出AE∶BD=EC∶DC=

（3）①如图3，在Rt△ADC中，根据勾股定理得出AD的长，根据两组对边分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形得出四边形ABCD是矩形，根据矩形对角线相等得出BD=AC=

；②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线

交AC于点P，在Rt△ADC中，利用勾股定理得出AD的长，根据中点的定义得出DE的长，根据AE=AD-DE算出AE的长，由（2），可得AE∶BD=

,从而得出BD的长度。

4．如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是BC上一个动点，连接AD，以AD为边向右侧作等腰直角△ADE，其中∠ADE=90°．

（1）如图2，G，H分别是边AB，BC的中点，连接DG，AH，EH．求证：△AGD∽△AHE；

（2）如图3，连接BE，直接写出当BD为何值时，△ABE是等腰三角形；

（3）在点D从点B向点C运动过程中，求△ABE周长的最小值．

【答案】（1）证明：如图2，由题意知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠B=∠DAE=45°． ∵H为BC中点， ∴AH⊥BC． ∴∠BAH=45°=∠DAE． ∴∠GAD=∠HAE．

在等腰直角△BAH和等腰直角△DAE中， AH＝ ∴

AB＝ ，

AG，AE＝

AD．

∴△AGD∽△AHE；

（2）解：分三种情况：①当B与D重合时，即BD=0，如图3，此时AB=BE；

②当AB=AE时，如图4，此时E与C重合，

∴D是BC的中点， ∴BD= BC=2 G，连接DH，

；

③当AB=BE时，如图5，过E作EH⊥AB于H，交BC于M，连接AM，过E作EG⊥BC于

∵AE=BE，EH⊥AB， ∴AH=BH， ∴AM=BM， ∵∠ABC=45°，

∴AM⊥BC，△BMH是等腰直角三角形， ∵AD=DE，∠ADE=90°， 易得△ADM≌△DEG， ∴DM=EG，

∵∠EMG=∠BMH=45°， ∴△EMG是等腰直角三角形， ∴ME=

MG，

，

由（1）得：△AHD∽△AME，且 ∴∠AHD=∠AME=135°，ME= ∴∠BHD=45°，MG=DH， ∴△BDH是等腰直角三角形， ∴BD=DH=EG=DM=

； 或2

DH，

综上所述，当BD=0或

时，△ABE是等腰三角形；

（3）解：当点D与点B重合时，点E的位置记为点M，连接CM，如图6，

此时，∠ABM=∠BAC=90°，∠AMB=∠BAM=45°，BM=AB=AC． ∴四边形ABMC是正方形． ∴∠BMC=90°，

∴∠AMC=∠BMC-∠AMB=45°， ∵∠BAM=∠DAE=45°， ∴∠BAD=∠MAE，

在等腰直角△BAM和等腰直角△DAE中， AM＝ ∴

AB，AE＝ ．

AD．

∴△ABD∽△AME． ∴∠AME=∠ABD=45° ∴点E在射线MC上，

作点B关于直线MC的对称点N，连接AN交MC于点E′， ∵BE+AE=NE+AE≥AN=NE′+AE′=BE′+AE′， ∴△ABE′就是所求周长最小的△ABE． 在Rt△ABN中，

∵AB=4，BN=2BM=2AB=8， ∴AN＝

．

．

∴△ABE周长最小值为AB+AN＝4+4

【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠DAE=∠BAH=45°，所以∠GAD=∠HAE，计算可得比例式：的两个三角形相似可得△AGD∽△AHE；

（2）根据等腰三角形的定义可知分3种情况讨论：①当B与D重合时，即BD=0，此时AB=BE；

②当AB=AE时，此时E与C重合，用勾股定理可求得BD的值；

，根据有两对边对应相等，且它们的夹角也相等

③当AB=BE时，过E作EH⊥AB于H，交BC于M，连接AM，过E作EG⊥BC于G，连接DH，由已知条件和（1）的结论可求解；

（3）当点D与点B重合时，点E的位置记为点M，连接CM，作点B关于直线MC的对称点N，连接AN交MC于点E′，由已知条件易证四边形ABMC是正方形，由已知条件通过计算易得比例式：

,根据有两对边对应相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似

可得△ABD∽△AME,则∠AME=∠ABD=45°，于是可得点E在射线MC上，根据轴对称的性质可得△ABE′就是所求周长最小的△ABE，在Rt△ABN中，用勾股定理即可求得AN的值，则△ABE周长最小值=AB+AN即可求解。

5．如图，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c交y轴于点A（0,4），交x轴于点B（4,0），点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP．

（1）填空：抛物线的解析式为________，点C的坐标________； （2）点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标. 【答案】（1）y＝﹣x2＋3x＋4；（－1,0）

（2）解：∵点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（－1，0），∴ ∵点P的横坐标为m，∴P（m， ﹣m2＋3m＋4）．

①当点P在直线AQ下方时，QP＝4－（﹣m2＋3m＋4）＝ m2－3m， 由△AQP∽△AOC得： ∴ 当

（舍去）或

，即： ．

）；

，

．

时，﹣m2＋3m＋4＝ ，此时点P的坐标为（

②当点P在直线AQ上方时，PQ＝﹣m2＋3m＋4－4＝﹣m2＋3m，

由△AQP∽△AOC得： ，即：

， ）．

∴ ＝0（舍去）或 ＝ ，此时P点坐标为（ 综上所述：点P的坐标为（ B（4，0）， ∴

，解得：

）或（

）．

【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c交y轴于点A（0，4），交x轴于点

，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋3x＋4．

令y=0，得：﹣x2＋3x＋4=0，解得：x=4或x=－1，∴点C的坐标为（－1，0）． 【分析】（1）根据题意，将A,B两点的坐标代入到解析式中，分别求出b，c，可以求出抛物线的解析式；

（2）C为x轴上的交点，令y=0，通过解一元二次方程，解得C点坐标。

6．已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P.

（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC； （2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长.

【答案】 （1））证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠APQ=∠C. 在△APQ与△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A， ∴△APQ∽△ABC.

（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5. ∵∠BPQ为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ. （I）当点P在线段AB上时，如题图1所示， 由（1）可知，△APQ∽△ABC， ∴ ∴

，即

，解得： .

.

（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示, ∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P.

∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A。∴BQ=AB。 ∴AB=BP，点B为线段AB中点。 ∴AP=2AB=2×3=6.

综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为 或6.

【解析】【分析】（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△APQ∽△ABC。（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论.（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示.由三角形相似（△APQ∽△ABC）关系计算AP的长；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示.利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP.

7．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动，△ABC是边长为2的等边三角形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．

（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明；

（2）当点E在线段AC上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为 的长；

（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系，并说明理由； （4）如图2，当△ECD的面积S1＝

时，求AE的长．

，求AE

【答案】（1）解：现点E沿边AC从点A向点C运动过程中，始终有△ABE?△CBF. 由图1知，△ABC与△EBF都是等边三角形，∴AB=CB，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°， ∴∠CBF=∠ABE=60°-∠CBE，∴△ABE?△CBF.

（2）解：由（1）知点E在运动过程中始终有△ABE?△CBF，

因四边形BECF的面积等于三角形BCF的面积与三角形BCE的面积之和，

∴四边形BECF的面积等于△ABC的面积，因△ABC的边长为2，则

，

∴四边形BECF的面积为 ∴ ∴ （3）解：

.

，又四边形ABFC的面积是

，

，在三角形ABE中，因∠A=60°，∴边AB上的高为AEsin60°,

，则AE= .

由图2知，△ABC与△EBF都是等边三角形，∴AB=CB，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°， 又∠CBF=∠ABE=60°+∠CBE，∴△ABE?△CBF， ∴ 则

（4）解：由（3）知 由

得 ，∴

，则 ，即

，∵△ABE?△CBF，

，

，

∴AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，

又∠BAE=∠ABC=60°，得∠ABC=∠BCF，∴CF∥AB，则△BDF的边CF上的高与△ABC的高相等，即为

，

则DF= ，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+ ，∴CD=x- ，

在△ABE中，由CD∥AB得， 化简得

即CE=1，∴AE=3.

，即

，

，∴x=1或x=? （舍），

【解析】【分析】（1）不难发现△ABE?△CBF，由等边三角形的性质得到相应的条件，根据“SAS”判定三角形全等；（2）由（1）可得△ABE?△CBF，则 ABFC= 面积为

=

，则四边形

，由四边形ABFC的

和等边三角形ABC的边长为2，可求得△ABE的面积，由底AB×AEsin60°，构造

方程可解出AE.（3）当E在AC的延长线上时，△ABE?△CBF依然成立，则

，即

（4）由（3）可求出△FBD

由等量关系即可得答案.

的面积，由△ABE?△CBF，则

AE=CF，

∠BAE=∠BCF=60°=∠ABC，则CF//AB,则对于△BDF的边CF上的高等于△ABC的高，则可求出DF的长度；由AE=CF，可设CE=x，且CD//AB可得

，代入相关值解出x即可.

8．如图，已知抛物线

作直线AC//x轴，交y轴与点C。

过点A 和B ，过点A

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使得 在，请说明理由。

【答案】 （1）解：∵点A、B在抛物线上， ∴

，

?若存在，求出点Q的坐标；若不存

解得：

x.

∴抛物线解析式为：y= x2 -

（2）当P在直线AD上方时， 设P坐标为（x，PD=

，

， ），则有AD=x- ，

当△OCA∽△ADP时，

即

整理得：3x2-9解得：x=

x+18=2

， x-6，即3x2-11

x+24=0，

，

即x=此时P（

或x=

（舍去）, ）；

当△OCA∽△PDA时，整理得：解得：此时P（4

,6）；

， 即

， 即x2- ， 即x=4

或

（舍去），

，

当点P（0,0）时，也满足△OCA∽△PDA； 当P在直线AD下方时，同理可得，P的坐标为（综上，P的坐标为（（3）解：∵A ∴AC= ∴OA=2 ∴

,OC=3， ,

= ·OC·AC= ·OA·h=

， ，

）或（4

,6）或（

）， ）或（0,0）

∴h= ， 又∵

=

，

∴△AOQ边OA上的高=3h= ,

过O作OM⊥OA,截取OM= ，过点M作MN∥OA交y轴于点N ，过M作HM⊥x轴,（如图），

∵AC=

,OA=2

,

∴∠AOC==30°， 又∵MN∥OA，

∴∠MNO=∠AOC=30°，OM⊥MN， ∴ON=2OM=9，∠NOM=60°， 即N（0,9）， ∴∠MOB=30°， ∴MH= OM= , ∴OH= ∴M（

=

， ），

,

设直线MN解析式为：y=kx+b，

∴ ∴

，

x+9，

∴直线MN解析式为：y=-

∴ ∴x - （x-3 ∴x =3 ∴

x-18=0, ）（x+2 ,x =-2 或

， ）=0, ，

，

，0）或（-2

，15），

.

∴Q点坐标（3

∴抛物线上是否存在点Q，使得 组，解之即可得抛物线解析式. （2）设P坐标为（x， 的值，即可确定出P坐标。 （3）根据点A坐标得AC=

【解析】【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式得到一个二元一次方程方程

），表示出AD与PD，由相似分两种情况得比例求出x

,OC=3，由勾股定理得OA=2

=

,根据三角形面积公式可得

△AOC边OA上的高h= ，又 得△AOQ边OA上的高为 ；过O作

OM⊥OA,截取OM= ，过点M作MN∥OA交y轴于点N ，过M作HM⊥x轴,（如图），

根据直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半，从而求出N（0,9），在Rt△MOH中，根据直角三角形性质和勾股定理得M（

， ）；用待定系数法求出直线

MN解析式，再讲直线MN和抛物线解析式联立即可得Q点坐标.

9．如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．

（1）证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形；②推断： AG∶BE的值为 ： （2）探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用：

正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2 ∴∠BCD=90°，∠BCA=45°， ∵GE⊥BC、GF⊥CD， ∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，

∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°， ∴EG=EC，

∴四边形CEGF是正方形

（2）解：连接CG，

，则BC=________．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α， 在Rt△CEG和Rt△CBA中，

=cos45°= ∴ =

、 =cos45°= ，

，

∴△ACG∽△BCE， ∴

，

BE

∴线段AG与BE之间的数量关系为AG= （3）

【解析】【解答】（1）②由①知四边形CEGF是正方形， ∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°， ∴ ∴ 故答案为：

，GE∥AB，

， ；

（ 3 ）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线， ∴∠BEC=135°， ∵△ACG∽△BCE， ∴∠AGC=∠BEC=135°， ∴∠AGH=∠CAH=45°， ∵∠CHA=∠AHG， ∴△AHG∽△CHA， ∴

，

a， ，

设BC=CD=AD=a，则AC=

则由 ∴AH= a，

得

则DH=AD﹣AH= a，CH= =

a，

∴由 解得：a=3

得 ，即BC=3 ．

， ，

故答案为：3

【分析】（1）①根据正方形的性质得出∠BCD=90°，∠BCA=45°，根据垂直的定义及等量代换得出∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形CEGF是矩形，根据三角形的内角和得出∠CGE=∠ECG=45°，根据等角对等边得出EG=EC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得出四边形CEGF是正方形；②根据正方形的性质得出GE∥∥CD，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出GE∥AB，根据平行线分线段成比例定理得出GC∶EC＝AG∶BE，根据等腰直角三角形的边之间的关系得出GC∶EC=从而得出答案；

（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，根据余弦函数的定义得出

,

数量关系为AG=

BE ；

,从而判断出

，

△ACG∽△BCE，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可得出结论线段AG与BE之间的（ 3 ）根据∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，由邻补角定义得出∠BEC=135°，根据△ACG∽△BCE，得出∠AGC=∠BEC=135°，故∠AGH=∠CAH=45°，然后判断出△AHG∽△CHA，根据相似三角形对应边成比例得出AG∶AC＝GH∶AH＝AH∶CH，设BC=CD=AD=a，则AC=

a，根据比例式得出关于AH的方程，求解AH的值，根据DH=AD

﹣AH表示出DH，根据勾股定理表示出CH，根据前面的比例式得出关于a的方程，求解得出a的值，从而得出BC的值。

10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y= x2+ x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．

（1）求直线l的解析式；

（2）若直线x=m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；

（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：∵抛物线y= x2+ x﹣2， ∴当y=0时，得x1=1，x2=﹣4，当x=0时，y=﹣2，

∵抛物线y= x2+ x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， ∴点A的坐标为（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2）， ∵直线l经过A，C两点，设直线l的函数解析式为y=kx+b，

，得

即直线l的函数解析式为y=

，

（2）解：直线ED与x轴交于点F，如右图1所示，

由（1）可得，

AO=4，OC=2，∠AOC=90°， ∴AC=2 ∴OD=

∴△AOD∽△ACO， ∴ 即

∴EF∥OC， ∴△ADF∽△ACO， ∴

， ， ，得AD=

，

，

，

∵OD⊥AC，OA⊥OC，∠OAD=∠CAO，

∵EF⊥x轴，∠ADC=90°，

解得，AF= ，DF= ， ∴OF=4﹣ = ，

∴m=﹣ ，

当m=﹣ 时，y= ×（- ）2+ ×（﹣ ）﹣2=﹣ ， ∴EF= ， ∴DE=EF﹣FD=

（3）解：存在点P，使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG，

理由：作GM⊥AC于点M，作PN⊥x轴于点N，如右图2所示，

∵点A（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2）， ∴OA=4，OB=1，OC=2， ∴tan∠OAC= ∴∠OAC=∠OCB，

∵∠BAP=∠BCO﹣∠BAG，∠GAM=∠OAC﹣∠BAG， ∴∠BAP=∠GAM， ∵点G（0，﹣1），AC=2 ∴OG=1，GC=1， ∴AG=

，

，

，即

，

，OA=4， ，tan∠OCB=

，AC=2

，

解得，GM=

∴AM= = =

，

∴tan∠GAM=

= ，

∴tan∠PAN= ，

设点P的坐标为（n， n2+ n﹣2）， ∴AN=4+n，PN= n2+ n﹣2，

∴

，

解得，n1= ，n2=﹣4（舍去）， 当n= 时， n2+ n﹣2= ， ∴点P的坐标为（ ， ），

即存在点P（ ， ），使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG

【解析】【分析】（1）利用抛物线的解析式求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式。

（2）直线ED与x轴交于点F，在Rt△AOC中，利用勾股定理求出AC的长，再证明△AOD∽△ACO，利用相似三角形的性质求出AD的长，再由EF∥OC得出对应线段成比例求出OF的长，可得出m的值，然后求出EF的长，根据DE=EF﹣FD，可求出答案。 （3）存在点P，使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG，作GM⊥AC于点M，作PN⊥x轴于点N，根据点A、B、C的坐标，利用锐角三角函数的定义求出AC、AG的长，再利用同一个三角形的面积相等，求出GM的长，利用勾股定理求出AM的长，从而求出tan∠PAN的值，然后设点P的坐标，求出AN、PN，再根据tan∠PAN的值建立方程求出n的值，就可得出点P的坐标。

11．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的 速度匀速移动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒． （1）当t=________时，PQ∥AB

（2）当t为何值时，△PCQ的面积等于5cm2？

（3）在P、Q运动过程中，在某一时刻，若将△PQC翻折，得到△EPQ，如图2，PE与AB能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由． 能垂直，理由如下： 延长QE交AC于点D，

∵将△PQC翻折，得到△EPQ， ∴△QCP≌△QEP， ∴∠C=∠QEP=90°， 若PE⊥AB，则QD∥AB， ∴△CQD∽△CBA， ∴ ∴

， ，

∴QD=2.5t， ∵QC=QE=2t ∴DE=0.5t

∵∠A=∠EDP，∠C=∠DEP=90°， ∴△ABC∽△DPE， ∴ ∴ 解得：

，

，

综上可知：当t= 时，PE⊥AB

【答案】 （1）2.4

（2）解：∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，

∴PC=AC-AP=6-t，CQ=2t， ∴S△CPQ= CP?CQ= ∴t2-6t+5=0

解得t1=1，t2=5（不合题意，舍去） ∴当t=1秒时，△PCQ的面积等于5cm2

＝5，

（3）解：

【解析】【解答】解：(1) ∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动， ∴PC=AC-AP=6-t，CQ=2t， 当PQ∥AB时，∴△PQC∽△ABC， ∴PC：AC=CQ：BC， ∴(6-t)：6=2t：8 ∴t=2.4

∴当t=2.4时，PQ∥AB

【分析】（1）根据题意可得PC=AC-AP=6-t，CQ=2t，根据平行线可得△PQC∽△ABC，利用相似三角形对应边成比例可得PC：AC=CQ：BC，即得(6-t)：6=2t：8，求出t值即可； （2） 由S△CPQ= CP?CQ =5，据此建立方程，求出t值即可；

（3） 延长QE交AC于点D， 根据折叠可得 △QCP≌△QEP，若PE⊥AB，则QD∥AB，可得 △CQD∽△CBA， 利用相似三角形的对应边成比例，求出DE=0.5t，根据两角分别相等可证 △ABC∽△DPE，利用相似三角形对应边成比例 值即可.

， 据此求出t

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm.动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的

速度向点B运动，运动时间为t秒

，连接MN.

（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；

（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．

【答案】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴BA＝ 由题意得BM＝3tcm，CN＝2tcm， ∴BN＝(8－2t)cm. 当△BMN∽△BAC时，

， ∴ ＝

，解得t＝ ； ，解得t＝ .

＝10(cm)．

当△BMN∽△BCA时， ＝ ， ∴ ＝

综上所述，△BMN与△ABC相似时，t的值为 或

（2）解：如图，过点M作MD⊥CB于点D，

∴∠BDM＝∠ACB＝90°， 又∵∠B＝∠B， ∴△BDM∽△BCA， ∴ ＝ ＝ . ∵AC＝6cm，BC＝8cm，BA＝10cm，BM＝3tcm， ∴DM＝ tcm，BD＝ tcm， ∴CD＝

cm.

∵AN⊥CM，∠ACB＝90°， ∴∠CAN＋∠ACM＝90°，∠MCD＋∠ACM＝90°， ∴∠CAN＝∠MCD. ∵MD⊥CB， ∴∠MDC＝∠ACB＝90°， ∴△CAN∽△DCM，

∴ ＝ ， ∴ 根据路程=速度

＝ ， 解得t＝ ．

时间可将BM、CN用含t的代数式表示出来，则BN=BC-CN也可用含t

【解析】【分析】（1）在直角三角形ABC中，由已知条件用勾股定理可求得AB的长，再的代数式表示出来，因为△BMN与△ABC相似，由题意可分两种情况，①当△BMN∽△BAC时，由相似三角形的性质可得比例式：

，将已知的线段代入计算

，将已知

即可求解；②当△BMN∽△BCA时，由相似三角形的性质可得比例式：

的线段代入计算即可求解；

（2）过点M作MD⊥CB于点D，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△BDM∽△BCA，于是可得比例式

，将已知的线段代入计算即可用含t的代

数式表示DM、BD的长，则CD=CB-BD也可用含t的代数式表示出来，同理易证△CAN∽△DCM，可得比例式

，将已表示的线段代入计算即可求得t的值。