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然对数的底数.
(1)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程.
(2)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 【解析】(1)由题意f(π)=π-2,又f'(x)=2x-2sin x,所以f'(π)=2π,
因此曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为y-(π-2)=2π(x-π),即y=2πx-π-2. (2)由题意得h(x)=e(cos x-sin x+2x-2)-a(x+2cos x),
因为h'(x)=e(cos x-sin x+2x-2)+e(-sin x-cos x+2)-a(2x-2sin x) =2e(x-sin x)-2a(x-sin x)=2(e-a)(x-sin x), 令m(x)=x-sin x,则m'(x)=1-cos x≥0, 所以m(x)在R上单调递增. 因为m(0)=0,所以当x>0时,m(x)>0; 当x<0时,m(x)<0.
①当a≤0时,e-a>0,当x<0时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增, 所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1; ②当a>0时,h'(x)=2(e-e
x
ln a
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
)(x-sin x),由h'(x)=0得x1=ln a,x2=0.
x
ln a
(ⅰ)当0 xx ln a <0,h'(x)>0,h(x)单调递增; >0,h'(x)<0,h(x)单调递减; ln a >0,h'(x)>0,h(x)单调递增. 所以当x=ln a时h(x)取到极大值. 极大值为h(ln a)=-a[lna-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2], 当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1; (ⅱ)当a=1时,ln a=0,所以当x∈(-∞,+∞)时,h'(x)≥0,函数h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值; (ⅲ)当a>1时,ln a>0,所以当x∈(-∞,0)时,e-e当x∈(0,ln a)时,e-e x ln a x ln a 2 <0,h'(x)>0,h(x)单调递增; <0,h'(x)<0,h(x)单调递减; >0,h'(x)>0,h(x)单调递增. 当x∈(ln a,+∞)时,e-e xln a 所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1; 当x=ln a时h(x)取到极小值,极小值是h(ln a)=-a[lna-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2]. 综上所述:当a≤0时,h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a-1; 当0 名师精心整理 助您一臂之力 49 2 名师精心整理 助您一臂之力 有极小值,极大值是h(ln a)=-a[lna-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2],极小值是h(0)=-2a-1; 当a=1时,函数h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值; 当a>1时,函数h(x)在(-∞,0)和(ln a,+∞)上单调递增,在(0,ln a)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(0)=-2a-1,极小值是h(ln a)=-a[lna-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2]. 77.(2017·江苏·T20)已知函数f(x)=x+ax+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零3 2 2 2 点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b2 >3a; (3)若f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-,求a的取值范围. 【解析】(1)由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f'(x)=3x2 +2ax+b=3 +b-. 当x=-时,f'(x)有极小值b-. 因为f'(x)的极值点是f(x)的零点, 所以f=-+1=0,又a>0,故b=. 因为f(x)有极值,故f'(x)=0有实根, 从而b-(27-a3 )≤0,即a≥3. 当a=3时,f'(x)>0(x≠-1),故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值; 当a>3时,f'(x)=0有两个相异的实根x1=,x2=. 列表如下: x (-∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 故f(x)的极值点是x1,x2. 从而a>3. 名师精心整理 助您一臂之力 50 名师精心整理 助您一臂之力 因此b=,定义域为(3,+∞). (2)由(1)知,. 设g(t)=,则g'(t)=. 当t∈时,g'(t)>0,从而g(t)在上单调递增. 因为a>3,所以a因此b>3a. 2 >3,故g(a)>g(3)=,即. (3)由(1)知,f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=-a,从 . 而 f(x1)+f(x2)=+a+bx1+1++a+bx2+1=(3+2ax1+b)+(3+2ax2+b)+a()+b(x1+x2)+2= +2=0. 记f(x),f'(x)所有极值之和为h(a), 因为f'(x)的极值为b-=-a+, 2 所以h(a)=-a+,a>3. 2 因为h'(a)=-a-<0,于是h(a)在(3,+∞)上单调递减. 因为h(6)=-,于是h(a)≥h(6),故a≤6. 因此a的取值范围为(3,6]. 78.(2017·北京·理T19)已知函数f(x)=ecos x-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; 名师精心整理 助您一臂之力 51 x 名师精心整理 助您一臂之力 (2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值. 【解析】(1)因为f(x)=ex cos x-x,所以f'(x)=ex (cos x-sin x)-1,f'(0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1. (2)设h(x)=ex (cos x-sin x)-1,则h'(x)=ex (cos x-sin x-sin x-cos x)=-2ex sin x. 当x∈时,h'(x)<0,所以h(x)在区间上单调递减. 所以对任意x∈有h(x) 即f'(x)<0. 所以函数f(x)在区间上单调递减. 因此f(x)在区间上的最大值为f(0)=1,最小值为f=-. 79.(2017·浙江·T20)已知函数f(x)=(x-)e -x . (1)求f(x)的导函数; (2)求f(x)在区间上的取值范围. 【解析】(1)因为(x-)'=1-,(e-x)'=-e-x , 所以f'(x)=e-x -(x- )e-x =. (2)由f'(x)==0,解得x=1或x=. 因为 x 1 名师精心整理 助您一臂之力 52
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