大连交通大学2013届本科生毕业设计（论文）外文翻译
采用线性预测模型对铁道车辆车体进行模态分析
Takahiro TOMIOKA，Tadao TAKIGAMI， Ken-Ichiro AIDA
车辆噪声与振动实验室，铁路技术研究所
2–8–38 Hikari–cho， Kokubunji-shi， 东京， 185–8540
邮箱：tomioka@rtri.or.jp
摘 要
本文介绍了一个采用线性预测模型对铁路车辆进行的模态特性识别研究。由静止或运行试验获得的实际铁路车辆的输入(激振力或轴箱加速度)和输出(车体加速度)之间的关系可由一个ARX(自回归线性预测模型)表示，同时模态参数的提取过程也能被详细描述。一个合适的模型定阶(即ARX模型中预测系数的阶)应是从实际应用的角度考虑的。分析数据得出两个不同部件的平均估计误差的实现过程被提出，同时他们对决定模型定阶的有效性被评估。使用ARX模型得出MIMO(多输入—多输出)的合适性也被描述。结果表明，利用所提出的方法，详细的模态特性可以被成功地从静止、运行测试测得的数据中确定。
关键词：铁路，模态分析，线性预测模型，信号处理，弯曲振动
1.介绍
要提高铁路车辆的行驶质量，重要的是要抑制车体纵向弯曲振动。为抑制这种振动，第一步要做的是对车体频率、模态属性等振动特性进行识别。静止和运行的振动测试通常就是为达此目的而进行的。运行测试在车辆运行时通过一个实际的商业服务性的途径对车辆进行了频率特性的分析和行驶质量的评估。平稳振动测试则适用于确定车体的模态性能，这是因为输入(激振力)和输出(响应加速度)之间的关系是明确的。由于进行铁道车辆测试的成本很高，所以通过单一的测量试验同时评估乘坐质量和模态性能是非常有效的。作者已经介绍了一种从静止测试(1)(2)中来评估运行质量的方法。本文主要介绍通过运行测试来评估车体模态性能的技术。
在运行过程中的铁道车辆的输入/输出关系是复杂和不稳定的。车辆受到多输
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入的作用，而激励条件会在很短的时间改变。因此运行测试难以确定车体频率和模态性能。 为了应对这一挑战，作者尝试运用类似ARX(自回归线性预测模型)的LPM(线性预测模型)来分析铁路车辆振动(3)~(7)，因为LPM模式对待短时间数据和多输入—多输出(MIMO)的问题更有效。然而，确定模型定阶(即ARX模型中预测系数的阶)仍是有问题的。本文介绍的对铁路车辆车体的模态识别采用ARX模型，而适当模型定阶的确定则是从实际使用的观点出发。
2. 引入线性预测模型(LPM)的必要性
在运行过程中，由于赛道条件和运行速度总是在不断变化，铁路车辆的激励条件每时每刻都不相同。因此，车体中诱发弯曲的振动幅度也每时每刻都在变化。 当使用有足够的频率分辨率ΔF的FFT(快速傅立叶变换)对这样的非定常的振动数据进行分析时，例如用ΔF = 0.1Hz来计算加速度的PSD(功率谱密度)时，因为缺乏平均我们难以得到可靠的结果。我们能使用足够的数据长度例如60秒来解决这个问题。 然而，对于一辆以300公里每小时的速度运行的列车，它能在60秒内行驶5公里。这样的话，对于有着显著弯曲振动发生的某一指定部分的数据长度有限的分析，FFT的方法就不再适合。
作者研究了利用LPM来分析铁路车辆振动特性的适用性，并表明了它是很有效的。LPM不仅能确定车体模态性能，同时还能确定车体的频率特性，例如运行时的加速度的PSD(3)(4)(5)(6)。通常，铁路车辆在八个轮子上运行，因此它在运行过程中受到八个垂直方向的激励。LPM模型可以被很容易地扩展用以容纳多个输入，这是另一种比运用FFT来进行模态分析优越的地方。
3.运用LPM进行模态分析
本节概述了利用LPM对铁道车辆车体的模态分析，分析中将铁路车辆看成一个多输入多输出(MIMO)系统。这里分析过程的叙述是基于以前发表的文献(8)(9)。
3.1预测系数的计算(8)
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假设输入信号为u(n)，输出信号为y(n)，这些信号形成一个任意采样时间Δt下的离散数据序列。在这里，n表示数据样本的数目。现在，我们利用样品数为m的过去的输入和输出数据乘以加权系数对数据样本数为n的输出信号进行预测。如下：
?(n)??aym?1M(M)m(M)y(n?m)??bmu(n?m)， (1)
m?1M
表示预测误差。我们获得如下方程：
y(n)??am?1M(M)m(M)(M)y(n?m)??bmu(n?m)??y(n)， (2)
m?1M这个等式表明了M阶ARX(自回归线性预测模型)中输入输出信号的关系。输入输出信号是矢量u(n)=[u1(n)，...，up(n)]T和y(n)=[y1(n)，...，yQ(n)]T，P
(M)(M)和Q输入输出的级数，[，]T表示向量的转置。am和bm表示Q×Q和Q×P阶
矩阵。
接下来我们写出反向形式的输入输出等式: u(n)??dm?1M(M)mu(n?m)??cm?1M(M)(M)y(n?m)??u(n)， (3) m(M)这里dm和cm表示P×P和P×Q阶的预测系数的矩阵。?u(n)表示u(n)的预测
误差。由于等式(2)和(3)是独立的，因此它们能被合并。我们得出以下等式。
(M) x(n)??Amx(n?m)??(M)(n)， (4)
m?1M这里x(n)=[uT(n) yT(n)]T是合并输入输出二矢量一系列的时间数据得到的，
(M)(M)(n)]T表示合并的预测误差，Am表示以下的包含预?(M)(n)=[ ?u(M)T(n) ?yT测系数的分块矩阵： A(M)m(M)?dm??(M)?bm(M)?cm(M)?。 am?(M)方程(4)表示x(n)可以表示为有P + Q模型独立变量的AR(自回归)模型，Am能
够运用现有的普通AR模型计算得出。在这项研究中，我们采用Burg法这被认为更有利于短时数据的谱估计，而且对一定量的预测系数的计算也有一些有效的 算法。
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为补充(2)-(4)等式表示的的ARX模型。我们定义一个新的应用Burg法的ARX模型，如下： y(n?M)??em?1M(M)m(M)(M)y(n?M?m)??fmu(n?M?m)??y(n)， (5)
m?1MM u(n?m)??gm?1M(M)m(M)(M)u(n?M?m)??hmy(n?M?m)??u(n)， (6)
m?1 x(n?m)?(M)(M)Bx(n?M?m)??(n)， (7) ?mm?1M(M)这里，式子后面的预测误差?(M)(n)和预测系数矩阵Bm(n)能被表示为 (M)(M)(M)????hm?gmu(M)(M) ?(n)??(M)?，Bm??(M)(M)?，
em???fm??y??Burg法的基本准则是要为了减少方程(4)—(7)的预测误差方差的总和而计算预测系数。通过求解下面的递推公式可得此目的。
N?(M)(M)(M?1)(M?1)TA?R[?(n?1)?(n?1)],??M?n?M ? (8) NTT?B(M)?R(M)[?(M?1)(n)?(M?1)(n)]?1,?M?n?M??1(M)(M?1)(M)(M?1)?Am?Am?AMBM?m,? ? (9)
?B(M)?B(M?1)?B(M)A(M?1),mMM?m?m(M)(M?1)??(M)(n)??(M?1)(n)?AM?(n?1),? ?
??(M)(n)??(M)(n?1)?B(M)?(M?1)(n),M?(M) (10)
这里N表示数据长度，R
表示R(M)?n?M??(M?1)(n)?(M?1)(n?1)。
NT3.2 模态参数的提取(9)
假设m阶的等式(4)中的预测系数是通过上述程序得到。在这一部分，我们利
(M)(M)(M)用这些预测系数计算模态特性。注意，仅在系数矩阵Am中用到am和bm。
通过引入以下的状态向量
ys(n)?[yT(n)yT(n?1)...yT(n?M?1)]T，
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