§1.1 集 合
最新考纲 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系. 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 4.在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图．题型以选择题为主，低档难度. 考情考向分析
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法
集合 符号
自然数集 N 正整数集 N(或N＋) *整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 2.集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A?B； (2)真子集：若A?B，且A≠B，则AB； (3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B；
(4)?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算
表示 运算 交集 文字语言 属于A且属于B的所有元素组成的集合 属于A或属于B的元素组成的集合 全集U中不属于A的元素组成补集 的集合称为集合A相对于集合{x|x∈U，x?A} ?UA 集合语言 图形语言 记法 {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈A，或x∈B} A∩B 并集 A∪B U的补集 概念方法微思考
1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集． 提示 2，2－1.
2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？ 提示 A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.
nn
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )
(2){x|y＝x＋1}＝{y|y＝x＋1}＝{(x，y)|y＝x＋1}．( × ) (3)若{x，1}＝{0,1}，则x＝0,1.( × ) (4)若P∩M＝P∩N＝A，则A?(M∩N)．( √ ) 题组二 教材改编
2．若集合A＝{x∈N|x≤2021}，a＝22，则下列结论正确的是( ) A．{a}?A C．{a}∈A 答案 D
B．a?A D．a?A
2
2
2
2
3．已知集合A＝{a，b}，若A∪B＝{a，b，c}，满足条件的集合B有________个． 答案 4
解析 因为(A∪B)?B，A＝{a，b}，所以满足条件的集合B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，
b，c}，所以满足条件的集合B有4个．
4．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(?UA)∪B＝________. 答案 (－∞，0)∪[1，＋∞)
解析 因为?UA＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(?UA)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)． 题组三 易错自纠
5．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B?A，则m＝________. 答案 0或3
解析 因为B?A，所以m＝3或m＝m.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知
m≠1，所以m＝0或3.
6．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________． 答案 0或1或－1
解析 易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N?M， ∴N＝?或N＝M，∴a＝0或a＝±1.
集合的含义与表示
1．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( ) A．1B．3C．6D．9 答案 C
解析 当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1； 当x＝2时，y＝0,1,2.
故集合B＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B中有6个元素．
???3∈Z
2．已知集合A＝?x∈Z?
?2－x??
??
?，则集合A中的元素个数为( ) ??
A．2B．3C．4D．5 答案 C 解析 因为
3
∈Z，且x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1,1,3，所以x的值分别为5,3,1，2－x－1，故集合A中的元素个数为4.
3．给出下列四个命题：
①{(x，y)|x＝1或y＝2}＝{1,2}；
②{x|x＝3k＋1，k∈Z}＝{x|x＝3k－2，k∈Z}；
③由英文单词“apple”中的所有字母组成的集合有15个真子集；
④设2021∈{x，x，x}，则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为3. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ②③④
解析 ①中左边集合表示横坐标为1，或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x＝1和y＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②中3k＋1,3k－2(k∈Z)都表示被3除余1的数，易错点在于认为3k＋1与3k－2中的k为同一个值，对集合的属性理解错误．③中集合有4个元素，其真子集的个数为2－1＝15(个)．④中
4
2
2
x＝－2021或x＝－2021，满足条件的所有x组成的集合为{－2021，－2021}，其真子集
有2－1＝3个．所以②③④正确．
思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．
2
集合间的基本关系
???n例1 (1)集合M＝?x?x＝＋1，n∈Z
2???
?????1
?，N＝?y?y＝m＋，m∈Z
2?????
??
?，则两集合M，N的关系??
为( ) A．M∩N＝? C．M?N 答案 D
解析 由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则x＝k＋1(k∈Z)，当n为奇1
数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，则x＝k＋1＋(k∈Z)，∴N?M，故选D.
2
(2)已知集合A＝{x∈R|x－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0 解析 由题意可得，A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}． 又∵A?C?B，∴C＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，∴有4个． (3)已知集合A＝{x|x－2021x＋2020<0}，B＝{x|x 2 2 B．M＝N D．N?M 答案 [2020，＋∞) 解析 由x－2021x＋2020<0，解得1 又B＝{x|x 思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 跟踪训练1 (1)已知集合A＝{x|y＝1－x}，B＝{x|x＝m，m∈A}，则( ) A．AB C．A?B 答案 B 解析 由题意知A＝{x|y＝1－x}， 所以A＝{x|－1≤x≤1}． 所以B＝{x|x＝m，m∈A}＝{x|0≤x≤1}， 所以BA，故选B. (2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B?A，则实数m的取值范围为________． 2 2 2 2 2 B．BA D．B＝A ?5?答案 (－∞，－2)∪?0，? ?2? 解析 A＝{x|－1≤x≤6}． ∵B?A，∴B＝?或B≠?. 当B＝?时，m－1>2m＋1，即m<－2.符合题意． m－1≤2m＋1，?? 当B≠?时，?m－1≥－1， ??2m＋1≤6. 5 解得0≤m≤. 25 得m<－2或0≤m≤. 2 集合的基本运算
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