5 向量和矩阵的范数2

§5 向量和矩阵的范数

为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法解线性方程组的收敛性，需要对向量和矩阵引进范数的概念。

一、向量的范数 1、向量范数的概念

定义1 如果向量空间R上的某个非负实

nN(x)?x值函数满足条件：

x?0（1）正定性：，当且仅当x?0时

x?0；

1

（2）齐次性：cx?cx，c为任意实数； （3）三角不等式：x?y?x?y。 则称?为R上的一个向量范数。

由（3）可得

nx?y?x?y。

n维向量空间

R?{x|x?(x1,x2,?,xn),xi?R,i?1,2,?,n} 上常用的三种范数：

n 2

x??maxxi1?i?nni?1；（?—范数）

x1??xin；（1—范数）

2ix

2??xi?1；（2—范数）

进一步，可定义

x

p?p????xi?p。（—范数） ?i?1?n1p3

例 计算向量x?(1,?2,3)的各种范数。 解 x1?6，x??3，x2?14。

2、迭代法收敛的概念 定义2 设

(k)(k)1*1Tx若

?(x,?,x)?R**nn(k)nn，

x?(x,?,x)?Rlimxk??(k)i*i，

?x,(i?1,2,?,n)*，

则称点列{x

(k)}收敛于x，并记作

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