5 向量和矩阵的范数2

limxk??(k)?x*。

由定义可知：

limxk??(k)?x?limxk??*(k)?x*??0，

limxk??(k)?x?limx(k)?x*?0， 1k???x?limxk??*limxk??(k)*(k)?x*2?0。

3、向量范数的等价性 定理 设

nx

s和

xt是Rn上向量的任意

两种范数，则存在常数c2?c1?0，使得对一切x?R，有

5

c1xs?xt?c2x

s。

特别，对于上述常用的三种范数，有

xx???x1?nx?,?x2?nx?,1x1?x2?x1。 n

二、矩阵范数

定义3 如果矩阵空间Rn?n上的某个非负

实值函数N(A)?A满足以下条件：

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A?0（1） 正定性：，且A?0?A?0；

（2）齐次性：

cA?cA，c为任意实数；

n?n（3）三角不等式：A?B?A?B； 则称N(A)为R

由（3）可得

上的一个矩阵范数。

A?B?A?B。

在研究方程组解的误差时，常需要涉及到矩阵乘积的范数以及矩阵与向量乘积的范数，

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为了研究的方便，我们要求它们之间满足

Ax?AxAB?AB，，

其中前一个条件称为矩阵范数与向量范数的相容性，后一个条件称为矩阵范数的可乘性。

下面用向量范数定义一类矩阵范数，这种矩阵范数满足上述两个条件。

定理1 设x?R,A?Rnn?n，给定一种向

量范数xv，相应地定义一个矩阵的非负函数

Av?maxx?0

Axx8

vv?maxAxxv?1v，