5 向量和矩阵的范数2

Ax则是一个矩阵范数，称之为向量范数v的诱导范数（算子范数）。

v

证明 只要验证矩阵范数定义的三个条件即可。

（1）对于任意的x?R，xv?1，由于

Axv?0Ax?0，故Av?max。进一步， xv?1nAv?maxAxv?0xv?1?Axv?0,?x?R,xv?1?Ax?0,?x?R,xv?1?A?0（2）

nn

9

?Av?max(?A)xv3）xv?1?maxx?(Ax)v?1v??maxxAxv?1v??AvA?Bv?maxxB)xv?1(A?v?maxxAx?Bxv?1v?maxx?Ax?v?1?v?Bxv??maxx?1Axv?maxxBxvv?1v?Av?Bv10

（

。A根据矩阵范数的定义，v是一个矩阵范数。

性质1 设A是由向量范数x诱导的矩阵范数，则

Ax?Ax（1）；

AB?AB（2）；

（3）A?I时，I?1。 证明 （1）由

A?maxx?0Axx

11

?当x?0时，?成立。

（2）进一步，当

Axx?A

Ax?Ax。

x?0时，Ax?Ax(AB)xxx?0显然

AB?maxx?0?maxx?0A(Bx)x。

?maxx?0ABxx?AmaxBxx?AB（3）显然。

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