2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学和答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(2)

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

3?i?（ ） 1?iA．1?2i B．1?2i C．2?i D．2?i

1.

2.设集合???1,2,4?，??xx?4x?m?0．若?I???1?，则??（ ）

2??A．?1,?3? B．?1,0? C．?1,3? D．?1,5? 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）

A．90? B．63? C．42? D．36?

?2x?3y?3?0?5.设x，y满足约束条件?2x?3y?3?0，则z?2x?y的最小值是（ ）

?y?3?0?A．?15 B．?9 C．1 D．9

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）

A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的a??1，则输出的S?（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

x2y229.若双曲线C:2?2?1（a?0，b?0）的一条渐近线被圆?x?2??y2?4所截得的

ab弦长为2，则C的离心率为（ ）

A．2 B．3 C．2 D．23 310.已知直三棱柱??C??1?1C1中，???C?120o，???2，?C?CC1?1，则异面直线??1与?C1所成角的余弦值为（ ）

A．331510 B． C． D． 23552x?1`11.若x??2是函数f(x)?(x?ax?1)e的极值点，则f(x)的极小值为（ ）

A.?1 B.?2e?3 C.5e?3 D.1

uuuruuuruuur12.已知?ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC一点，则PA?(PB?PC)的最小值

是（ ）

A.?2 B.?34 C. ? D.?1 23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，?表示抽到的二等品件数，则D?? ． 14.函数f?x??sin2x?3cosx?3???（x??0,?）的最大值是 ． 4?2?15.等差数列?an?的前n项和为Sn，a3?3，S4?10，则

21? ． ?k?1Skn16.已知F是抛物线C:y?8x的焦点，?是C上一点，F?的延长线交y轴于点?．若

?为F?的中点，则F?? ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分）

?ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知sin(A?C)?8sin2B． 2(1)求cosB

(2)若a?c?6 , ?ABC面积为2,求b.

18.（12分）

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：

（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新

养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；

（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 旧养殖法 新养殖法 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg

（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（） 0.050 3.841 0. 6.635 0.001 10.828 k n(ad?bc)2K?

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2

19.（12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，

1AD,?BAD??ABC?90o, E是PD的中点. 2（1）证明：直线CE// 平面PAB AB?BC?（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为45o ，求二面角M-AB-D的余弦值

20. （12分）

x2?y2?1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2uuuruuuur足NP?2NM.

(1) 求点P的轨迹方程；

uuuruuur(2) 设点Q在直线x=-3上，且OP?PQ?1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦

点F. 21.（12分）

已知函数f(x)?ax?ax?xlnx,且f(x)?0. （1）求a；

（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e?23?f(x0)?2?3.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为?cos??4．

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|?16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程； （2）设点A的极坐标为(2,?3)，点B在曲线C2上，求?OAB面积的最大值．

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知a?0,b?0,a?b?2，证明： （1）(a?b)(a?b)?4；

3333（2）a?b?2．

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题答案

一、选择题

1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题

13. 1.96 14. 1 15. 三、解答题 17.解：

（1）由题设及A?B?C??得sinB?8sin sinB?（41-cosB）上式两边平方，整理得 17cosB-32cosB+15=0 解得 cosB=1（舍去），cosB=22n 16. 6 n?12?2，故

15 1715814得sinB?，故S?ABC?acsinB?ac 171721717又S?ABC=2，则ac?

2（2）由cosB=由余弦定理学 科&网及a?c?6得

b2?a2?c2?2accosB2?（a+c）?2ac(1?cosB) 1715?36?2??(1?)217?4所以b=2 18.解：

（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg” ，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”

由题意知 P?A??P?BC??P?B?P?C? 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

（0.040?0.034?0.024?0.014?0.012）?5=0.62

故P?B?的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为

（0.068?0.046?0.010?0.008）?5=0.66

故P?C?的估计值为0.66

因此，事件A的概率估计值为0.62?0.66?0.4092 （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量?50kg 旧养殖法 新养殖法 62 34 2箱产量≥50kg 38 66 K?2200??62?66?34?38?100?100?96?104?15.705

由于15.705?6.635

故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关． （3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为

?0.004?0.020?0.044??5?0.34?0.5，

箱产量低于55kg的直方图面积为

?0.004?0.020?0.044+0.068??5?0.68?0.5

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

50+0.5-0.34． ≈52.35（kg）0.06819.解：

（1）取PA中点F，连结EF，BF．

因为E为PD的中点，所以EFPAD,EF=BC∥AD，又BC?1AD,由?BAD??ABC?90?得21AD 2所以EF∥BC．四边形BCEF为平行四边形， CE∥BF．

又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故CE∥平面PAB （2）

uuuruuur

由已知得BA?AD,以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则

1，3)， 则A(0，0，0)，B(1，1，0)，P(0，0，0)，C(1，uuuruuurPC?(1，0，?3),AB?(1，0，0)则

uuuuruuuurBM?(x?1，y，z),PM?(x，y?1，z?3)

因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n?(0，0，1)是底面ABCD的法向量，所以 uuuurcosBM,n?sin450，z(x?1)2?y2?z2?2 2即（x-1）2+y2-z2=0

uuuuruuur又M在棱PC上，学|科网设PM??PC,则 x??,y?1,z?3?3?

??2?x=1+?x=1-2????y=1(舍去)，??y=1由①，②得??6?z???z???2??

2262

uuuur??26?26?所以M?1-,1，?，从而AM??1-,1，?

??22?22?????设m=?x0,y0,z0?是平面ABM的法向量，则

uuuur???mgAM?0?2-2x0?2y0?即?r?uuu???mgAB?0?x0?0??6z0?0

所以可取m=（0，-6，2）.于是cosm,n?10 5mgn?mn10 5因此二面角M-AB-D的余弦值为20.解

uuuruuuur（1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）, NP??x?x0,y?,NM??0,y0?

uuuruuuur2NM得x0=x,y0?由NP?2y 2x2y2因为M（x0,y0）在C上，所以??1

22因此点P的轨迹方程为x2?y2?2

（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则 uuuruuuruuuruuurOQ???3,t?,PF???1?m,?n?,OQgPF?3?3m?tn， uuuruuurOP??m,n?,PQ???3?m,t?n?,

uuuruuur由OPgPQ?1得-3m?m2?tn?n2?1，又由（1）知m2+n2=2，故

3+3m-tn=0

所以OQgPF?0，即OQ?PF.学.科网又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 21.解：

+?? （1）f?x?的定义域为?0，uuuruuuruuuruuur设g?x?=ax-a-lnx，则f?x?=xg?x?,f?x??0等价于g?x??0 因为g?1?=0，g?x??0,故g'?1?=0,而g'?x??a?若a=1，则g'?x?=1?1,g'?1?=a?1,得a?1 x1.当0＜x＜1时，g'?x?＜0,g?x?单调递减；当x＞1时，g'?x?＞0，xg?x?单调递增.所以x=1是g?x?的极小值点，故g?x??g?1?=0

综上，a=1

（2）由（1）知f?x??x2?x?xlnx,f'(x)?2x?2?lnx 设h?x??2x?2?lnx,则h'(x)?2???1?2??1?21x

????1?2?当x??0,?时，h'?x?＜0；当x??,+??时，h'?x?＞0，所以h?x?在?0,?单调递减，在?,+??单调递增

??1?2?又he?2＞0,h??＜0,h?1??0，所以h?x?在?0,?有唯一零点x0，在?,+??有唯一零

?????1??2??1?2??1?2?h?x?＞0；h?x?＜0，h?x?＞0. 点1，且当x??0,x0?时，当x??x0,1?时，当x??1,+??时，

因为f'?x??h?x?，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点 由f'?x0??0得lnx0?2(x0?1),故f?x0?=x0(1?x0) 由x0??0,1?得f'?x0?＜1 4因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由e?1??0,1?,f'e?1?0得

??f?x0?＞fe?1?e?2

所以e?2＜f?x0?＜2-2 22.解：

（1）设P的极坐标为?，???????＞0?，M的极坐标为??，????＞0?，由题设知

11OP=?，OM=?1=4 cos?由OMgOP=16得C2的极坐标方程?=4cos??＞0 因此C2的直角坐标方程为

???x?2??y2?4?x?0?

2（2）设点B的极坐标为?B，?????＞0?,由题设知

BOA=2，?B=4cos?,于是△OAB面积

S=1OAg?Bgsin?AOB2????4cos?gsin????3?????3?2sin?2????3?2??2?当?=-?12

3时，S取得最大值2+3

所以△OAB面积的最大值为2+3 23.解： （1）

?a?b??a5?b5?a6?ab5?a5b?b6?a?b??33?2?2a3b3?aba4?b42??

?4?aba?b?4（2）因为

?2?2?a?b??a3?3a2b?3ab2?b33?2?3ab?a+b??2+33?a+b?42?a+b??2?3?a+b?43

所以?a+b??8，因此a+b≤2.