二次函数知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如 （a，b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而b，c可以为零．二次函数的定义域是 2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 ． ⑵ a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 1、下列函数中，是二次函数的是 .
222
①y=x－4x+1； ②y=2x； ③y=2x+4x； ④y=－3x；
2
⑤y=－2x－1； ⑥y=mx+nx+p； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x。
2
2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t+2t，则t＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
22
3、若函数y=(m+2m－7)x+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为 。
m －2
4、若函数y=(m－2)x+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为 。 6、已知函数y=(m－1)x
m2 +1
+5x－3是二次函数，求m的值。
二、二次函数的基本形式：
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①y?ax；②y?ax?k；③y?a?x?h?
函数解析式 开口方向 y?ax2 y?ax2?k 当a?0时 2y?a?x?h? 开口 2y?a?x?h??k 当a?0时 开口 y?ax2?bx?c 222；④y?a?x?h??k；⑤y?ax?bx?c.
22对称轴 顶点坐标
1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为 。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝ ，c＝ .
2
3．抛物线y＝x＋3x的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2
4．若抛物线y＝ax－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A.13 B.10 C.15 D.14 2
5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴
12
6．已知抛物线y＝x＋(m－1)x－ 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ .
4
7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是 。
8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝ 。
n
9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.
2
10．已知二次函数y=x－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y的最小值为0. 11．已知二次函数y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值为0，则m＝ ______ 。
1
12．已知二次函数y=x－4x+m－3的最小值为3，则m＝ 。
2
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?； ⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位2y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k 2. 平移规律
概括成八个字“ ”．左右括号内，上下括号外
3
1.抛物线y= － x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
22
2.抛物线y= 2x， ，可以得到y=2(x+4}2－3。
3.将抛物线y=x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。 4.如果将抛物线y=2x2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
5.将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x2－4x－1则a＝ ，b＝ ，c＝ .
2
6.将抛物线y＝ax向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.
四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c的比较
从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即b?4ac?b2b4ac?b2?y?a?x?，其中h??，． k???2a4a2a4a??2221．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： 12122
（1）y= x－2x+1 ； （2）y=－3x+8x－2； （3）y=－ x+x－4
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五、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，c?、以及?0，c?关于对称然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点?0，c?、与x轴的交点?x1，0?，?x2，0?（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 轴对称的点?2h，画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.
2
六、二次函数y?ax2?bx?c的性质
从图像可以看出，二次函数的图像是一条 ，属于 图形。 ?b4ac?b2?b 1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为??，?．
2a4a2a??4ac?b2bbb当x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y随x的增大而增大；当x??时，y有最小值．
4a2a2a2a?b4ac?b2?bb 2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??，顶点坐标为??，．当时，y随x的增大而增大；x???2a4a2a2a??4ac?b2bb当x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y有最大值．
4a2a2a2
1．抛物线y=x+4x+9的对称轴是 。
2
2．抛物线y=2x－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。
3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。
2
1.二次函数y=3x－6x+5，当x>1时，y随x的增大而 ；当x<1时，y随x的增大而 ； 当x=1时，函数有最 值是 。
2.已知函数y=4x2－mx+5，当x> －2时,y随x的增大而增大；当x< －2时，y随x的增大而减少； 则当x＝1时,y的值为 。
3.已知二次函数y=x2－(m+1)x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .
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4.已知二次函数y=－ x2+3x+ 的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3 22 则y1,y2,y3的大小关系为 . 22 5．把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x－3x+5，试求b、c的值。 2 6．把抛物线y=－2x+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。 7．某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？ 七、二次函数解析式的表示方法 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0） 顶点式：y=a(x-h) 2+k（a≠0），此时抛物线的顶点坐标为（h，k） 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）仅用于函数图像与x轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A（x1，0）和 B（x2，0）），对称轴所在的直线为x= 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系： x1?x2 2-b?b2-4ac4ac-b2bbh=-，k= ； x1, x2= ；x1+x2=-. 2a4a2a2a注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有 交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 3 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1、a决定开口方向及开口大小 ⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大． 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2、b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线x??为y轴； 2b，故：①b?0时，对称轴2ab?0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧； ab③?0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧. a总结起来，b和a共同决定抛物线对称轴的位置，概括的说就是“左同右异” 2 3、c的大小决定抛物线y?ax?bx?c与y轴交点的位置. 2 当x?0时，y?c，∴抛物线y?ax?bx?c与y轴有且只有一个交点（0，c）： ①c?0，抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负半轴. b 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 ?0. a② 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置． 总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（ ） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0 2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则下列结论正确的是（ ） A．a+b+c> 0 B．b> -2a C．a-b+c> 0 D．c< 0 3.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如右图，有以下结论： 2 ①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b-4ac<0 ⑤abc< 0；其中正确的为（ ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①③⑤ 4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（ ） 2 5.已知二次函数y＝ax＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的( ) yyyy O1x1x O1xO1Ox DABC 4
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