3.2 导数的计算
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．下列结论正确的是( ) A．若y＝cos x，则y′＝sin x B．若y＝sin x，则y′＝－cos x 11
C．若y＝，则y′＝－2
xxD．若y＝x，则y′＝
x2
解析：A项，y＝cos x，则y′＝－sin x；
答案：C
2．函数y＝x·a的导数是( ) A．(3＋xln a)xa C．(3＋ln a)xa 解析：∵y＝x·a，
∴y′＝(x·a)′＝(x)′a＋x(a)′ ＝3xa＋x·aln a ＝(3＋xln a)xa.选A. 答案：A
3．若函数f(x)＝ax＋bx＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( ) A．－1 B．－2 C．2
4
2
3
4
2
2x2x33
3
2x3
xB．(3＋ln a) xa D．(3＋ln a)a
x3xxxx3x3xxD．0
解析：由f(x)＝ax＋bx＋c得f′(x)＝4ax＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2. 答案：B
1324．已知曲线y1＝2－与y2＝x－x＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0的值为( )
x1
A．－2 B．2 C. D．1
2
1122
解析：由题知y′1＝2，y′2＝3x－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为2，3x
xx0
1
3x0－2x0＋2
0－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1. 2
2
x0
答案：D
5．若函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，且f′(x)是函数f(x)的导函数，则
f′(1)＝( )
A．24 C．10
B．－24 D．－10
解析：∵f′(x)＝(x－1)′(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋(x－1)[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′
＝(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋(x－1)[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′ ∴f′(1)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)＝24. 答案：A
43
6．曲线y＝x在点Q(16,8)处的切线的斜率是________．
?π?1则a＝________，2
7．设f(x)＝ax－bsin x，且f ′(0)＝1，f ′??＝， b＝________.
?3?2
解析：∵f ′(x)＝2ax－bcos x，
f ′(0)＝－b＝1得b＝－1， f ′??＝πa＋＝，得a＝0.
3
答案：0 －1
1x8．(2015·高考陕西卷)设曲线y＝e在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线
?π?2
??3
1212
x垂直，则P的坐标为________．
解析：y′＝e，曲线在点(0,1)处的斜率k1＝e＝1，设P(m，n)，
x0
y＝(x＞0)的导数为y′＝－2(x＞0)，曲线y＝(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－2(m＞xxxm0)，由题意知k1k2＝－1，由此易得m＝1，n＝1，即点P的坐标为(1,1). 答案：(1,1) 9．求导．
1111
y＝(x＋1)2(x－1)．
解析：法一 y′＝[(x＋1)]′(x－1)＋(x＋1)(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)＝3x＋2x－1.
2
2
2
2
2
法二 y＝(x＋2x＋1)(x－1) ＝x＋x－x－1，
3
2
2
y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1.
1x10．设f (x)＝a·e＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值．
e解析：由f(x)＝a·e＋bln x， ∴f′(x)＝a·e＋，
xxbxf′1＝ae＋b＝e，??
根据题意应有?a1
f′－1＝－b＝，?ee?
??a＝1，
解得?
??b＝0，
所以a，b的值分别是1,0.
[B组 能力提升]
1．函数f(x)＝ecos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( ) ππA．0 B. C．1 D.
42
解析：f′(x)＝ecos x－esin x， ∴f′(0)＝e(cos 0－sin 0)＝1， π
∴切线的倾斜角为. 4答案：B
2．若曲线y＝x＋aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点的坐标为( )
A．(1,1) B．(2,3) C．(3,1) 解析：y＝x＋aln x的定义域为(0，＋∞)，
由导数的几何意义知y′＝2x＋≥22a＝4，则a＝2， 当且仅当x＝1时等号成立，代入曲线方程得y＝1， 故所求的切点坐标是(1,1)． 答案：A
3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x则f′(e)＝________. 解析：∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x， 1∴f′(x)＝2f′(e)＋，
2
20
xxxD．(1,4)
axx 3
11
令x＝e，得f′(e)＝2f′(e)＋，∴f′(e)＝－.
ee1
答案：－
e
4．(2016·高考天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)e，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
解析：由题意得f′(x)＝(2x＋3)e，则得f′(0)＝3. 答案：3 5．求曲线y＝解析：∵y＝2
∴y′＝2－2x＝
x2＋1
2
2
xx2x4
在点(2，)处的切线方程． x＋15
2
2x， x＋1
2
x2＋1－2x·2x
x2＋12
. 2－84＋1
2
∴y′|x＝2＝因此曲线y＝45
625
2
6＝－.
25
2x4
在点(2，)处的切线方程为 x＋15
y－＝－(x－2)，
即6x＋25y－32＝0.
6．求满足下列条件的函数f(x)：
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0； (2)f′(x)是一次函数，xf′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
解析：(1)设f(x)＝ax＋bx＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax＋2bx＋c.
由f(0)＝3，得d＝3.由f′(0)＝0，得c＝0.由f′(1)＝－3，f′(2)＝0可建立方程组
??3a＋2b＝－3，
?
?12a＋4b＝0，?
3
3
2
2
2
2
??a＝1，
解得?
?b＝－3.?
所以f(x)＝x－3x＋3.
(2)由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数， 设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b. 把f(x)、f′(x)代入方程得
2
x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝1，
即(a－b)x＋(b－2c)x＋c－1＝0.
2
4
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