二项式定理
二项式知识回顾
1. 二项式定理
0n1n?11kn?kknn(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb,
kkn?kk以上展开式共n+1项，其中Cn叫做二项式系数，Tk?1?Cnab叫做二项展开式的通项.
（请同学完成下列二项展开式）
0n1n?11kn?kknnkn?kk(a?b)n?Cna?Cnab???(?1)kCnab???(?1)nCnb，Tk?1?(?1)kCnab 01kknn(1?x)n?Cn?Cnx???Cnx???Cnx ① 01kn?1(2x?1)n?Cn(2x)n?Cn(2x)n?1???Cn(2x)n?k??Cn(2x)?1
?anxn?an?1xn?1???an?kxn?k??a1x?a0 ②
01n① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 Cn即二项式系数和等于2； ?Cn???Cn?2n，0213偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即Cn?Cn???Cn?Cn???2n?1
n② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.
2. 二项式系数的性质
mn?m（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即Cn. ?Cnk（2）二项式系数Cn增减性与最大值：
当k?n?1n?1时，二项式系数是递增的；当k?时，二项式系数是递减的. 22n2nn?12n当n是偶数时，中间一项C取得最大值.当n是奇数时，中间两项C时取得最大值.
和Cn?12n相等，且同
3.二项展开式的系数a0,a1,a2,a3,…,an 的性质：f(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3……+anxn
⑴ a0+a1+a2+a3……+an=f(1)
n
⑵ a0-a1+a2-a3……+(-1)an=f(-1)
f(1)?f(?1)⑶ a0+a2+a4+a6……=
2⑷ a1+a3+a5+a7……=
f(1)?f(?1)
2
- 1 -
经典例题
1、“(a?b)n展开式：
例1．求(3x?
【练习1】求(3x?
2.求展开式中的项 例2.已知在(3x?1x)4的展开式
1x)4的展开式；
123x)n的展开式中，第6项为常数项.
2（1） 求n； （2）求含x的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.
- 2 -
【练习2】若(x?1)n展开式中前三项系数成等差数列.求：
24x（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项.
3.二项展开式中的系数
例3.已知(3x?x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x?1)n的展开式的二项式系数和大992，求(2x?)的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项
[练习3]已知(x?1.
(1)求展开式中含x的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
321x2n2n*)(n?N)的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：2x - 3 -
4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例4．（x2?1)(x?2)7的展开式中，x项的系数是 ； 3
5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数
例5（04安徽改编）(x?1x?2)3的展开式中，常数项是
6、求中间项
例6求（x?13x)10的展开式的中间项；
例7 (x?13x)10的展开式中有理项共有 项；
- 4 -
；
8、求系数最大或最小项
（1） 特殊的系数最大或最小问题
例8（00上海）在二项式(x?1)11的展开式中，系数最小的项的系数是 ；
（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求(x?124x)8展开式中系数最大的项；
（3） 系数绝对值最大的项
例10在（x?y)7的展开式中，系数绝对值最大项是 ；
9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和
例11．若(2x?3)4?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4， 则(a0?a2?a4)2?(a1?a3)2的值为 ；
- 5 -
【练习1】若(1?2x)2004?a0?a1x?a2x2?...?2004x2004， 则(a0?a1)?(a0?a2)?...?(a0?a2004)? ；
【练习2】设(2x?1)6?a6x6?a5x5?...?a1x?a0， 则a0?a1?a2?...?a6? ；
【练习3】(x?
219)展开式中x9的系数是 ； 2x - 6 -
相关推荐：
loading