2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（理工农医类）
第Ⅰ卷（选择题共50分）
参考公式：
三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式
11 sin??cos??[sin(???)?sin(???)] S台侧?(c??c)l 其中c?、c分别表示 221cos??sin??[sin(???)?sin(???)] 上、下底面周长，l表示斜高或母线长.
214cos??cos??[cos(???)?cos(???)] 球体的体积公式：V球??R3 ，其中R
231sin??sin???[cos(???)?cos(???)] 表示球的半径.
2一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. （1）设集合A?{x|x2?1?0}，B?{x|log2x?0}，则A?B等于
（A）{x|x?1} （B）{x|x?0} （C）{x|x??1} （D）{x|x??1或x?1} （2）设y1?40.9，y2?80.48，y3?()12?1.5，则
（A）y3?y1?y2 （B）y2?y1?y3 （C）y1?y2?y3 （D）y1?y3?y2 （3）“cos2???5?3,k?Z”的 ”是“??k??122（A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 4．已知?,?是平面，m,n是直线，下列命题中不正确的是
（A）若m∥?，????n，则m∥n （B）若m∥n，m??，则n?? （C）若m??，m??，则?∥? （D）若m??，m??，则???． 5．极坐标方程?cos2??2?cos??1表示的曲线是
（A）圆 （B）椭圆 （C）抛物线 （D）双曲线 6．若z?C，且|z?2?2i|?1，则|z?2?2i|的最小值是
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
7．如果圆台的母线与底面成60?角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （A）2? （B）
23?123? （C） （D）? 2238．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不
同的种植方法共有
（A）24种 （B）18种 （C）12种 （D）6种
3?n?2?n?(?1)n(3?n?2?n)9．若数列{an}的通项公式是an?，n?1,2,?，则lim(a1?a2???an)等于
n??211171925 （B） （C） （D） 2424242410．某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为
（A）
j号同学当选?1 第i号同学同意第，不同意（含弃权）按“0”．令aij?? 1,2,?,k．规定：同意按“1”
0 第i号同学不同意第j号同学当选?其中i＝1,2,?,k，且j＝1,2,?,k，则同时同意第1、2号同学当选的人数为
（A）a11?a12???a1k?a21?a22???a2k （B）a11?a21???ak1?a12?a22???ak2 （C）a11a12?a21a22???ak1ak2 （D）a11a21?a12a22???a1ka2k
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
x??1?x?2 ?2 |x|?1，h(x)?tg2x，其中 为偶函11．f(x)?lg(1?x)，g(x)??0 ??x?2 x?1?数．
x2y2??1，则以双曲线左顶点为顶点，右焦点为焦点的抛物线12．已知双曲线方程为
169ab方程为 ．
2r13．一底面半径为r的圆柱，被一平面所截剩下部分母线最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积为 ．
14．一根长为1的铁丝，分成两段分别围成一个正方形和一个圆，当正方形和圆的面积之和最小时，正方形的周长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数
f(x)?cos4x?2sinxcosx?sin4x
（Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)在区间[0,
16．（本小题满分13分）已知数列{an}是等差数列，且a1?2，a1?a2?a3?12 （1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列bn?an?xn（x?R），求数列{bn}的前n项和公式.
?2]上的最大值和最小值.
17．（本小题满分15分）如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1底面边长为3，AA1?点，且BD?BC．
（1）求证：直线BC1∥面AB1D；
C33，D为CB延长线上一2A1A（2）求二面角B1?AD?B的大小；
BC1B1（3）求三棱锥C1?ABB1的体积．
D18．（本小题满分15分）如图，已知椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心M(0,r)（b?r?0 （Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）设直线y?k1x与椭圆交于C(x1,y1)，D(x2,y2)（y2?0），直线y?k2x与椭圆次于G(x3,y3)，
kxxkxx．求证：112?134； H(x4,y4)（y4?0）
x1?x2x3?x4（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在C,D,G,H，设CH交x轴于
HyB2(0,b+r)DMA1(-a,r)A2(a,r)xP点，GD交x轴于Q点，求证：|OP|?|OQ|
（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形） O
GCB1(0,-b+r)
19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处，且AB?AC?a，BC?2b，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处（建立坐标系如图）． （Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和最小，则P应位于何处？ y（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，则P应位于何处？ A
PB(-b,0)OC(b,0)x20．（本小题满分14分）设y?f(x)是定义在区间[?1,1]上的函数，且满足条件，①f(?1)?f(1)?0 ②对任意的u、v?[?1,1]，都有|f(u)?f(v)|?|u?v| （Ⅰ）证明：对任意x?[?1,1]，都有x?1?f(x)?1?x （Ⅱ）证明：对任意的u,v?[?1,1]都有|f(u)?f(v)|?1
1?|f(u)?f(v)|?|u?v| uv?[0,]??2（Ⅲ）在区间[?1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数y?f(x)且使得?
1?|f(u)?f(v)|?|u?v| uv?[,1]?2?若存在请举一例，若不存在，请说明理由．
2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学（理工农医类）答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.
1．A 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．B 9．C 10．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
11．f(x);g(x) 12．y2??36(x?4) 13．?r(a?b) 14．
1224
??4
三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分.
（Ⅰ）解：因为f(x)?cos4x?2sinxcosx?sin4x
?(cos2x?sin2x)(cos2x?sin2x)?sin2x?cos2x?sin2x?2cos(2x?所以f(x)的最小正周期T?（Ⅱ）解：因为0?x??4)
2???. 2?2,所以
?4?2x??4?5? 4当2x?当2x??4??4时，f(x)取最大值为
2, 2?4??时，f(x)取最小值为－1 2cos(2x?∴f(x)??4)的最大值为1,最小值为－2 16．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13
分. （Ⅰ）解：设数列{an}公差为d，则 a1?a2?a3?3a1?3d?12,又a1?2,d?2.
所以an?2n.
（Ⅱ）解：由bn?anxn?2nxn,得
Sn?2?x?4?x2??(2n?2)xn?1?2n?xn,①
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