2014全国高中数学联赛试题

2014全国高中数学联赛试题

一、填空题

1、若正数a,b2?log2a?3?log3b?log(a?b),则

11?的值为__________ ab2、设集合{?b|1?a?b?2}中的最大值与最小值分别为M,m，则M?m=_________ 3、若函数f(x)?x2?a|x?1|在[0,??)上单调递增，则a的取值范围为_______ 4、数列{an}满足a1?2,an?1?3a2(n?2)a2014an(n?N?)，则=_________ n?1a1?a2?...?a20135、已知正四棱锥P?ABCD中，侧面是边长为1的正三角形，M,N分别是边AB,BC的中点，则异面直线MN与PC之间的距离是_____________

6、设椭圆?的两个焦点是F1,F2，过点F1的直线与?交于点P,Q，若|PF2|?|F1F2|，且

3|PF1|?4|QF1|，则椭圆?的短轴与长轴的比值为__________

7、设等边三角形ABC的内切圆半径为2，圆心为I。若点P满足PI?1，则?ABC与

?APC的面积之比的最大值为__________ 8、设A,B,C,D是空间四个不共面的点，以

1的概率在每对点之间连一条边，任意两点之2间是否连边是相互独立的，则A,B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________

二、解答题

P是不在x轴上一个动点，9、平面直角坐标系xOy中，满足条件：过P可作抛物线y?4x的两条切线，两切点连线lP与PO垂直。设直线lP与PO，x轴的交点分别为Q,R， （1）证明：R是一个顶点 （2）球

2|PQ|的最小值 |QR|

10、数列{an}满足a1??,an?1?arctan(secan)(n?N?)求正整数m，使得

6sina11sina2......sianm?10 0

11、确定所有的复数?，使得对任意的复数z1,z2(z1??)2??z1?(z1??)2??z2

|z1|,|z2|?1,z1?z2），均有

（

2014全国高中数学联赛二试

一、（本题满分40分）设a,b,c?R，满足a?b?c?1，abc?0，

求证：bc?ca?ab?abc1? 24