高考数学核心专题：类比思想

高考数学核心素养优质专题汇编（附详解）

高考数学核心专题：类比思想

内容概述

类比思想就是由已知两个（类）事物具有某些相似性质，从而推断它们在其他性质上也可能相似的推理思想（由特殊到特殊）。类比思想是串联新旧知识的纽带，同时也是培养学生探究能力和创新能力的有力工具．类比往往是猜想的前提，猜想又往往是发现的前兆，类比是数学发现的重要源泉，数学中许多定理、公式和法则都是用类比推理提出的。在高中数学中，类比是最基本、最重要的数学思想方法之一，它不仅能由已知解决未知，由简单问题解决复杂问题，更能体现数学思想方法之奇妙．恰当的运用类比思想，可以帮助学生举一反三、触类旁通，提高解题能力，也可以引导学生去探索获取新知识，提高学生的创新思维能力．类比思想存在于解决数学问题的过程中，是帮助我们寻找解题思路的一种重要的思想方法．当我们遇到一个“新”的数学问题时，如果有现成的解法，自不必说．否则解决问题的关键就是寻找合适的解题策略，看能否想办法将之转化到曾经做过的、熟悉的、类似的问题上去思考。通过联系已有知识给我们的启发，将已有知识迁移到新问题中来，把解决已有问题的方法移植过来，为所要解决的问题指引了方向．

例题示范

例1：等差数列{an}中，若a10?0，则有a1?a2??an?a1?a2??a19?n

(n?19,n?N?)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9=1

高考数学核心素养优质专题汇编（附详解）

，则_______.

解：在等差数列中，a10?0，那么以a10为中心，前后间隔相等的项和为0，即a9?a11?0,a8?a12?0，…所以有

a1?a2??an?a1?a2??a19?n(n?19,n?N?)成立．

类比过来：同样在等比数列{bn}中，若b9=1，则以b9为中心，前后间隔相等的项的积为1，即b8b10?1,b7b11?1，所以有下列结论成立：bbbn?bbb17?n(n?17,n?N?) 1212

评析：在等差数列和等比数列的性质类比中，常见的运算类比有：和类比为积，差类比为商，算术平均类比几何平均等等。当然此题中已知等式的左右式子各项特征，特别是下标变化规律是类比的关注点。

例2：在平行四边形ABCD中，有AC2?BD2?2(AB2?AD2),类比在空间平行六面体ABCD?A1BC类似的11D1中，DC结论是_______。

ABD CDC AB

B A

解：如图，平行四边形ABCD中，设向量AB?a，AD?b ,则AC?a?b，

2222DB?a?b, 有AC??a?b??a?2ab?b…①同理，

1111DB?a?b2??2?a?2ab?b2222…②

①+②得，AC?DB?2a?bAC?BD?2(AB2?AD2)．

22?22??2?AB2?AD2?，即

类似地，在平行六面体ABCD?A1BC11D1中，可设AB?a， AD?b AA1?c则AC1?a?b?c,BD1??a?b?c,CA1??a?b?c,DB1?a?b?c 同上面方法可计算出下列结论成立:

AC2?BD2?CA2?DB12?4(AA2?AB2?AD2)

评析：在解决空间几何问题时，有很多可以类比平面几何问题求解，美国数学家、数学教育家波利亚曾指出：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题”

1111高考数学核心素养优质专题汇编（附详解）

平面与空间类比的例子还有很多，如：

1、在Rt△ABC中，∠C=900，CD⊥AB于点D，则平面ABC于点D，则可得到的结论是：

12111??成CD2CA2CB2立，类比此性质，在四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PD⊥

1111???． PD2PA2PB2PC22、已知△ABC中，内切圆半径为r，三边长为a,b,c，则△ABC的面积为S?r(a?b?c)，若一个四面体内切球的半径为R，四个面的面积分别是S1,S2,S3,S4，则这个四面体的体积是：V?R(S1?S2?S3?S4)．

3、如图，在平面几何中△ABC的内角平分线AD分BC所成的线段比BD：DC=AB：AC，把这个结论类比空间有： 在三棱锥中A?BCD中，平面DCE平分二面角A-CD-BAA，且与棱相交于点E，则有

AES?BESACDBCD13．

BDCBED

Cbclnb≥a?clnc，则的取b，c满足：5c?3a≤b≤4c?a，例3： ．已知正数a，a值范围是 ．

baa1ba7cccc2c2baba

clnb?a?clnc，得ln?， 设?x，?y，在处理y?lnx时可以类

cccc

比：y?x是表示直线y?x的下方区域，所以y?lnx表示曲线y?lnx下

解：由5c?3a?b?4c?a得5?3??4?， ∴?，?4??，由

ac方区域，这就是线性与非线性的类比．

?y?lnx??x?7y2则x，y满足?，可先求的取值范围． 作出?x1?y??2?x?0,y?0?高考数学核心素养优质专题汇编（附详解）

（x，y）所在平面区域（如图）：

利用的几何意义：可行域内的任一点和点(0,0)所在直线的斜率，

7122设过点(0,0)的直线与y?lnx相切于点p(x0,y0)， lnx1∴0?，解得x0?e，y0?1，

x0x0bx1y1∴??，e???7，即b的取值范围是?e， 7?． 7xeaayyx由图像可知分别在点(,)和切点分别取得最小值和最大值．

yx评析：此题求解中充分利用条件和结论的形式特征，将不等条件与线性规划中约束条件类比，将所求分式与斜率类比，将求线性规划问题的方法与非线性的方法进行类比。解决问题的策略就是把不熟悉的问题类比到熟悉的问题中，降低思维难度。

例4：（2017年浙江21）如图，已知抛物线x2?y，点A(?,)，

3913B(,)，抛物线上的点P(x,y) (??x?)，过点B作直线AP2422Ay1124BQxP的垂线，垂足为Q.

(1)求直线AP斜率的取值范围 （2）求PA?PQ的最大值 。

14?x?1，因为?1?x?3，所以K. k?1222x?2x2?解：（1）设直线AP的斜率为

直线AP斜率的取值范围为??1,1?。

（2）常规解法：设直线AP的方程：y?k(x?)?121，则由411?y?k(x?)?1111?24消y得：(x?)[x?(k?)]?0，则xA??,xP?k?.由于?2222?x2?y?13??xp?22，则。k?(?1,1)由题意得AQ?BQ，所以直线

BQ：