§3 等比数列 3.1 等比数列 整体设计
教学分析
等比数列与等差数列在内容上是完全平行的,包括定义、性质、通项公式等,两个数的等差(等比)中项、两种数列在函数角度下的解释等,因此在教学时要充分利用类比的方法,以便于弄清它们之间的联系与区别.
等比数列是另一个简单常见的数列,研究内容和方法可与等差数列类比,这是本节的中心思想方法.本节首先归纳出等比数列的定义,导出通项公式,进而研究图像,又给出等比中项的概念,最后是通项公式的应用.
等比数列概念的引入,可按教材给出几个具体的例子,由学生概括这些数列的相同特征,从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出,由学生将这些数列进行分类,由此对比地概括等比数列的定义.根据定义让学生分析等比数列的公比不为0,以及每一项均不为0的特性,加深对概念的理解.启发学生用函数观点认识通项公式,由通项公式的结构特征,联想到指数函数进而画出数列的图像.
由于有了等差数列的研究经验,等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决,充分利用类比思想,教师只需把握课堂的节奏,真正作为一节课的组织者、引导者出现,充分发挥学生的主体作用.
大量的数学思想方法渗透是本章的特色,如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、一般到特殊的思想等,在教学中要充分体现这些重要的数学思想方法,所有能力的体现最终归结为数学思想方法的体现. 三维目标
1.通过实例,理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质,能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系.
2.通过现实生活中大量存在的数列模型,让学生充分感受到数列是反映现实生活的模型,体会数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,达到提高学生学习兴趣的目的.
3.通过对等比数列概念的归纳,进一步培养学生严密的思维习惯,以及实事求是的精神,严谨的科学态度.体会探究过程中的主体作用及探究问题的方法,经历解决问题的全过程. 重点难点
教学重点：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导.
教学难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式解决相关问题,在具体问题中抽象出等比数列模型及掌握重要的数学思想方法. 课时安排 2课时
教学过程 第1课时
导入新课
思路1.(情境导入)将一张厚度为0.044 mm的白纸一次又一次地对折,如果对折1 000次(假设是可能的)纸的厚度将是4.4×10296 m,相当于约5.0×10292个珠穆朗玛峰的高度和,这可能吗？但是一位数学家曾经说过：你如果能将一张报纸对折38次,我就能顺着它在今天晚上爬上月球.将一张报纸对折会有那么大的厚度吗？这就是我们今天要解决的问题,让学生带着这大大的疑问来展开新课.
思路2.(练习导入)先给出四个数列： 1,2,4,8,16,…
1,-1,1,-1,1,… -4,2,-1,… 1,1,1,1,1,…
由学生自己去探究在这四个数列中,每个数列相邻两项之间有什么关系？这四个数列有什么共同点？由此引导学生自己去观察、研究,从中发现规律,突出了以学生为主体的思想,训练和培养了学生的归纳思维能力.让学生观察这些数列与上节课学习的等差数列有什么不同？由此引入新课. 推进新课 新知探究 提出问题
①回忆等差数列的概念及等差数列的通项公式的推导方法.
②阅读教科书上的①,② 2个背景实例,领会2个实例所传达的思想,写出由2个实例所得到的数列.
③观察数列①,②,它们有什么共同的特征?你能再举出2个与其特征相同的数列吗? ④类比等差数列的定义,怎样用恰当的语言给出等比数列的定义? ⑤你能举出既是等差数列又是等比数列的例子吗?
⑥类比等差数列通项公式的推导过程,你能推导出等比数列的通项公式吗?
⑦类比等差数列通项公式与一次函数的关系,你能说明等比数列的通项公式与指数函数的关系吗?
活动:教师引导学生回忆等差数列概念的学习过程,指导学生阅读并分析教科书中给出的2个实例.实例①是与我们生活有关的拉面问题.拉面馆的师傅将一根很粗的面条,拉伸、捏合,再拉伸、再捏合,这样前8次捏合成的面条根数构成一个数列: 1,2,4,8,16,32,64,128.①
实例②是星火化工厂今年产值为a万元,计划在以后5年中每年比上年产值增长10%.这样6年的产值构成一个数列:
a,a(1+10%),a(1+10%)2,a(1+10%)3,a(1+10%)4,a(1+10%)5.② 再如,我们常见的某种细胞分裂的模型:
图1
每次分裂后细胞的个数构成一个数列就是:1,2,4,8,….③
“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,如果把“一尺之棰”看成单位“1”,得到的数列是1,
111,,,….④ 248教师引导学生探究数列①②③④的共同特点:
对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2;
对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的比都等于1+10%; 对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2; 对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的比都等于
1. 2
也就是说,这些数列有一个共同的特点:从第2项起,每一项与前一项的比都等于同一常数,这里仍是后项比前项,而不是前项比后项,具有这样特点的数列我们称之为等比数列.让学生类比等差数列给出等比数列的定义:
一般地,如果一个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫作等比数列.
这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示,显然q≠0,上面的四个数列都是等比数列,公比依次是2,1.1,2,
1. 2 教师引导学生进一步探究,既是等差数列,又是等比数列的数列存在吗?学生思考后很快会举出1,1,1,…,是等比数列也是等差数列,其公比为1,公差为0.
教师可再提出:常数列都是等比数列吗?让学生充分讨论后可得出0,0,0,…是常数列,但不是等比数列.
至此,学生已经清晰了等比数列的概念,比如,从等比数列定义知,等比数列中的任意一项不为零,公比可以为正,可以为负,但不能为0.
接下来,教师引导学生类比等差数列的通项公式的推导方法来归纳猜想等比数列的通项公式.
课件演示:不完全归纳法得到等差数列通项公式的过程: a2=a1+d,
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d, a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d, ……
归纳得到an=a1+(n-1)d.
类比这个过程,可得等比数列通项公式的归纳过程如下: a2=a1q,
a3=a2q=(a1q)q=a1q2, a4=a3q=(a1q2)q=a1q3, ……
归纳得到an=a1qn-1(a1≠0,q≠0).
这样做可以帮助学生体会归纳推理对于发现新的数学结论的作用.这个结论的正确性可用后面的数学归纳法进行严格证明,现在我们先承认它.
下面我们再类比等差数列,探究推导等比数列通项公式的其他方法: ∵{an}是等比数列, ∴
ana?1a?3a?q,n?q,n?q,?,2?q. an?1an?2an?4a1an?qn?1, a1把以上n-1个等式两边分别乘到一起,即叠乘,则可得到
于是得到an=a1qn-1.
容易知道本节开始的实例①的通项公式是an=2n-1(如图2).
图2
对于通项公式,教师引导学生明确这样几点: (1)不要把an错误地写成an=a1qn(a1≠0,q≠0).
(2)对公比q,要和等差数列的公差一样,强调“从第2项起,每一项与它的前一项的比”,不要把相邻两项的比的次序颠倒,且公比q可以为正,可以为负,但不能为0. (3)在等比数列a,aq,aq2,aq3,…中,当a=0时,一切项都等于0；当q=0时,第2项以后的项都等于0,这不符合等比数列的定义.因此等比数列的首项和公比都不能为0.
(4)类比等差数列中d>0,d<0时的情况,若q>0,则各项符号同号,若q<0,则各项符号异号;若q=1,则等比数列为非零常数列;若q=-1,则如2,-2,2,-2,…这样的数列;若|q|<1,则数列各项的绝对值递减.
最后让学生完成下表,从定义、通项公式比较等差数列、等比数列的异同,加深概念的理解. 定义 首项、公差(公比)取值有无限制 通项公式 讨论结果:①—⑦略. 应用示例
思路1
例1由下面等比数列的通项公式,求首项与公比. (1)an=2n; (2)an=
等差数列 从第2项起,每一项与它前一项的差都是同一个常数 没有任何限制 an=a1+(n-1)d 等比数列 从第2项起,每一项与它前一项的比都是同一个常数 首项、公比都不能为0 an=a1qn-1 1·10n. 4活动:本例的目的是让学生熟悉等比数列的概念及通项公式,可由学生口答或互相提问. 解：(1)an=2·2n-1, ∴a1=2,q=2.
1·10·10n-1, 415∴a1=×10=,q=10.
42(2)∵an=
点评:可通过通项公式直接求首项,再求公比.如(1)中,a1=21=2,a2=22=4,∴q=2. 变式训练
设a1,a2,a3,a4成等比数列,其公比为2,则
2a1?a2的值为( )
2a3?a4A.
111 B. C. D.1 428
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