又因为BC?平面A1BC，所以平面A1BC?平面AAC11C． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接AB1，设AB1IA1B?E，连接DE．
根据棱柱的性质可知，E为AB1的中点， 因为D是AC的中点， 所以DE//B1C．
A
又因为DE?平面A1BD，
D
B E C
A1
B1 C1
B1C?平面A1BD，
所以B1C//平面A1BD． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB的中点F，则DF//BC，
因为BC?AC，所以DF?AC， 又因为A1D?平面ABC， 所以DF,DC,DA1两两垂直．
以D为原点，分别以DF,DC,DA1为x,y,z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC?平面AAC11C, 所以BC?AC1．
又因为A1B?AC1，BCIA1B?B, 所以AC1?平面A1BC，所以AC1?AC1， 所以四边形AAC11C为菱形． 由已知AC?BC?2，
则A?0,?1,0?，C?0,1,0?，B?2,1,0?，A10,0,3． 设平面A1AB的一个法向量为n??x,y,z?，
A F x D B C y z A1 B1 C1 ??uuuruuuruuur???y?3z?0,?n?AA1?0,因为AA1?0,1,3，AB??2,2,0?，所以?uuu，即? r???2x?2y?0.?n?AB?0,??设z?1，则n?
?3,?3,1．
?再设平面A1BC的一个法向量为m??x1,y1,z1?，
uuuruuuruuur????y?3z1?0,?m?CA1?0,因为CA1?0,?1,3，CB??2,0,0?，所以?，即?1 uuur???2x1?0. ?m?CB?0,??设z1?1，则m?0,3,1．
故cos?m,n????m?n?3?17． ??m?n77?2由图知，二面角A?A1B?C的平面角为锐角， 所以二面角A?A1B?C的余弦值为18. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）f?(x)?cosx?xsinx.k?f?()??7． …………14分 7π2π. …………3分 2（Ⅱ）设g(x)?f?(x)，g?(x)??sinx?(sinx?xcosx)??2sinx?xcosx.
当x?(0,1)时，g?(x)?0，则函数g(x)为减函数. 又因为g(0)?1?0，g(1)?cos1?sin1?0, 所以有且只有一个x0?(0,1)，使g(x0)?0成立.
所以函数g(x)在区间?0,1?内有且只有一个零点.即方程f?(x)?0在区间?0,1?内有且只有一个实数根. ……………7分 （Ⅲ）若函数F(x)?xsinx?cosx?ax在区间?0,1?内有且只有一个极值点，由于
F?(x)?f(x)，即f(x)?xcosx?a在区间?0,1?内有且只有一个零点x1，且f(x)在x1两侧异号.
因为当x?(0,1)时，函数g(x)为减函数，所以在?0,x0?上，g(x)?g(x0)?0，即f?(x)?0成立，函数f(x)为增函数；
在(x0,1)上， g(x)?g(x0)?0，即f?(x)?0成立，函数f(x)为减函数,
则函数f(x)在x?x0处取得极大值f(x0).
当f(x0)?0时，虽然函数f(x)在区间?0,1?内有且只有一个零点x0，但f(x)在x0 两侧同号，不满足F(x)在区间?0,1?内有且只有一个极值点的要求.
，f(0)?a，显然f(1)?f(0). 由于f(1)?a?cos1若函数f(x)在区间?0,1?内有且只有一个零点x1，且f(x)在x1两侧异号， 则只需满足：
?f(0)?0,?a?0, 即??f(1)?0,cos1?a?0,??解得?cos1?a?0. ……………13分
19. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ） F(0,1) ……………2分
2（Ⅱ）设P(x0,y0).由x?4y，得y?则过点P的切线l方程为y?12则过点P的切线l的斜率为k?y?x，4x?x0?1x0. 211211.令y?0，得xT?x0，即T(x0,0).又点x0x?x024222.而由已知得MN?l，则x0P为抛物线上除顶点O外的动点，x0?0，则kTF??2. x0kMN??又x0?0，即FT与MN不重合，
即FTPMN. …………6分 （Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN的方程为y??y?12x，x0?0.直线PF的方程为y?1?0x，x0x02?y??xN.........(1)?Nx?0x0?0.设MN和PF交点N的坐标为N(xN,yN)则?
y?1?y?0xN?1..........(2)N?x0?由（1）式得，x0??2xN（由于N不与原点重合，故yN?0）.代入（2），化简得yNy0?2?yNyN2?(yN?1)2?1 （xN?0）. ?yN?0?.又x02?4y0，化简得,xN即点N在以F为圆心，1为半径的圆上.（原点与?0,2?除外）
即FN?1. …………14分 20. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）M(P)=7； ………… 3分
2（Ⅱ）形如和式ai+a（j1?i?j?n)共有Cn?n(n?1)n(n?1). 项，所以M(P)?22（1?i?j?n,1?p?q?n)： ，ap+aq对于集合1,4,16,...,4?n?1?中的和式a+aij当j?q时，i?p时，ai+aj?ap+aq；
j?当j?q时，不妨设j?q，则a+a?2a?42?a?a?a?a.
ijjj?1qpq1所以ai+a（j1?i?j?n)的值两两不同. 且M(P)=n(n?1). ………… 8分 2（Ⅲ）不妨设a1?a2?a3?...?an，可得
a1+a2?a1+a3?...?a1+an?a2+an?...?an?1+an. ai+a（j1?i?j?n)中至少有2n?3个不同的数. 即M(P)?2n?3.
??ai?j?n?an,(i?j?n) 设a1,a2,...,an成等差数列，ai+aj=???a1?ai?j?1,(i?j?n)，
则对于每个和式ai+a（j1?i?j?n)，其值等于a1+ap（2?p?n）或aq+an
(1?q?n?1)中的一个.去掉重复的一个a1?an,
所以对于这样的集合P,M(P)?2n?3.
则M(P)的最小值为2n?3. ……………13分
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