(整理)一元线性回归模型的置信区间与预测.

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2?u将?u2用估计值?代入上式，有：

tef?ef???1?1??n??xf?x??2???u?????fyf?y???1?1??n??xf?x??2???u???~t?n?2?

??xi?1ni?x?2??xi?1ni?x?2根据置信区间的原理，得显著性水平?下

yf的置信区间：

????xf?x?1???yf?t?2??1??nn2???x?x??i?i?1??（2.5.8）

????xf?x12????u?, yf?t??1??n??n22??x?x???ii?1????2???u?????????? 上式称为yf的个值区间预测，显然，在同样的?下，个值区间要大于均值区间。(2.5.7)和(2.5.8)也可表述为：yf的均值或个值落在置信区间内的概率为

1??，1??即为预测区间的置信度。或者说，当给定解释变量值xf后，只能得到被解释变量yf或其均值E?yf?以(1??)的置信水平处于某区间的结论。

经常听到这样的说法，“如果给定解释变量值，根据模型就可以得到被解释变量的预测值为……值”。这种说法是不科学的，也是计量经济学模型无法达到的。如果一定要给出一个具体的预测值，那么它的置信水平则为0；如果一定要回答解释变量以100%的置信水平处在什么区间中，那么这个区间是∞。

在实际应用中，我们当然也希望置信水平越高越好，置信区间越小越好，以增加预测的实用意义。如何才能缩小置信区间？从（2.5.5）和(2.5.6)式中不难看出：（1）增大样本容量n。在同样的置信水平下，n越大，从t分布表中查得自由度为（n-k-1）的临界值t?越小；同时，增大样本容量，在一般情况下可使

2??2u?e?2in?2减小，因为式中分母的增大是肯定的，分子并不一定增大。（2）更

主要的是提高模型的拟合优度，以减小残差平方和?ei2。设想一种极端情况，如果模型完全拟合样本观测值，残差平方和为0，则置信区间长度也为0，预测区间就是一点。（3）提高样本观测值的分散度。在一般情况下，样本观测值越分

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散，作为分母的??xi?x?的值越大，致使区间缩小。置信水平与置信区间是矛

2盾的。置信水平越高，在其他情况不变时，临界值t?越大，置信区间越大。如

2果要求缩小置信区间，在其他情况不变时，就必须降低对置信水平的要求。

四、一元线性回归模型参数估计实例

为了帮助读者理解一元线性回归模型参数估计的原理，下面以我国国家财政文教科学卫生事业费支出模型为例，不采用计量经济学应用软件，用手工计算，进行模型的参数估计。

经分析得到，我国国家财政中用于文教科学卫生事业费的支出，主要由国家财政收入决定，二者之间具有线性关系。于是可以建立如下的模型：

EDt????FIt??t

其中，EDt为第t年国家文教科学卫生事业费支出额（亿元），FIt为第t年国家财政收入额（亿元），?t，为随机误差项，?和?为待估计的参数。选取1991—1997年的数据为样本，利用（2.2.6）和（2.2.7）的计算公式，分别计算参数估计值。

表2.2.1 有关数据表

年份 1991 ED 708 1992 793 FI 3149 3483 1993 1994 1995 1996 1997 1278 1467 1704 1904 5218 6242 7408 8651 958 4349 -301 19 208 445 645 -466 -2017 -1151 -282 742 1908 3151 1196 1424 1685 1963 82 43 19 -59 0.064 0.029 0.011 -0.031 1001 -43 ..^^ED -551 FI -2351 ED 734 804 ED?ED -26 (ED?ED)/ED -0.037 ^-11 -0.014 -0.045 有关中间计算结果如下： ?EDtt?8812

?FItt?38500?FIt2t?236869644

.t?FI·EDt ED?1259 FI?5500

t?54078207

?FIt?5612207

?FIt.2?25119644由电脑计算的参数估计值为 精品文档

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??0.24 ???39.65,? ?全部统计结果如下表。

从表中可看出，判定系数R2?0.99，表示以国家财政收入额来解释国家文教科学卫生事业费支出额，在1991至1997年间，拟合度相当理想。截距项?的估计值对应的t-统计量为0.47，不能通过显著性检验，即不能推翻?为0的假设；而一次系数?的估计值对应的t-统计量为20.34，不用查表即可知通过显著性检验，即?显著不为0，因果关系成立。F-统计量的值为413.58，也表示方程系数显著不为0。

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表一：Eviews计算结果 Dependent Variable: ED Method: Least Squares Date: 09/21/02 Time: 16:22 Sample: 1991 1997 Included observations: 7 Variable C FI R-squared

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Coefficient 30.05237 0.223419 Std. Error 63.90691 0.010986 t-Statistic 0.470252 20.33659 Prob. 0.6580 0.0000 1258.857 459.8972 11.08974 11.07428 413.5768 0.000005 0.988055 Mean dependent var 0.985666 S.D. dependent var 55.06160 Akaike info criterion 15158.90 Schwarz criterion -36.81408 F-statistic 1.644626 Prob(F-statistic)

表二：不含截距项的Eviews计算结果： Dependent Variable: ED Method: Least Squares Date: 09/21/02 Time: 16:19 Sample: 1991 1997 Included observations: 7

Variable FI

R-squared

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Coefficient 0.228304

Std. Error 0.003337

t-Statistic 68.40877

Prob. 0.0000 1258.857 459.8972 10.84730 10.83957 1.630622 0.987526 Mean dependent var 0.987526 S.D. dependent var 51.36364 Akaike info criterion 15829.34 Schwarz criterion -36.96556 Durbin-Watson stat

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