第八章 立体几何与空间向量 8.4 直线、平面垂直的判定与性质教师
用书 理 苏教版
1.直线与平面垂直 (1)定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直. (2)判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 a，b?α?a∩b＝O???l⊥a??l⊥bl⊥α 性质 定理 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 a⊥α????a∥b ?b⊥α?2.直线和平面所成的角 (1)定义
平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角. π
(2)范围：[0，]. 23.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念
①二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
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(2)平面和平面垂直的定义
如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
判定 定理 文字语言 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 图形语言 符号语言 l⊥α???l?β???α⊥β 性质 定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ??l?β??α∩β＝a??l⊥al⊥α α⊥β
【知识拓展】 重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( × ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( × ) (3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √ ) (4)若α⊥β，a⊥β?a∥α.( × )
(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直.( √ )
1.(教材改编)下列命题中正确的是________.
①如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β； ②如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；
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③如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β； ④如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ. 答案 ②③④
解析 根据面面垂直的性质，知①不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内，②③④正确.
2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的____________条件. 答案 充分不必要
解析 若α⊥β，因为α∩β＝m，b?β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得
b⊥α，又a?α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，
但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.
3.(2016·宿迁质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题： ①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD； ②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD； ③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD； ④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD. 其中为真命题的是________. 答案 ①④
解析 ①如图，取BC的中点M，连结AM，DM，由AB＝AC?AM⊥BC，同理DM⊥BC?BC⊥平面
AMD，而AD?平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O，连结BO，CO，DO，由AB⊥CD?BO⊥CD，由AC⊥BD?CO⊥BD?O为△BCD的垂心?DO⊥BC?AD⊥BC.
4.(2016·徐州模拟)α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及平面β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_______________________________. 答案 可填①③④?②与②③④?①中的一个
5.(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心. 答案 (1)外 (2)垂
解析 (1)如图1，连结OA，OB，OC，OP，
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在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB， 所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.
(2)如图2，延长AO，BO，CO，分别交BC，AC，AB于H，D，G. ∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，
∴PC⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴PC⊥AB， 又AB⊥PO，PO∩PC＝P， ∴AB⊥平面PGC， 又CG?平面PGC，
∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高. 同理可证BD，AH为△ABC底边上的高， 即O为△ABC的垂心.
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD5
上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.
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OD′＝10.
证明：D′H⊥平面ABCD. 证明 由已知得AC⊥BD，AD＝CD. 又由AE＝CF得＝，故AC∥EF. 因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB－AO＝4.
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2
AECFADCD 4
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