∴平面B1DE⊥平面A1C1F.
题型三 垂直关系中的探索性问题
例3 如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.
(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；
(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由.
(1)证明 在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC?平面ACE，DF?平面ACE，∴DF∥平面ACE. 又∵DF?平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a， ∴DF∥a.
1
(2)解 线段BE上存在点G，且BG＝BE，使得平面DFG⊥平面CDE.
3
证明如下：
取CE的中点O，连结FO并延长交BE于点G， 连结GD，GF ∵CF＝EF，∴GF⊥CE. 在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC?DE⊥EF. 由CF⊥平面DEF?CF⊥DE.
又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF.
??
GF⊥DE??GF⊥平面CDE. CE∩DE＝E??
GF⊥CE9
又GF?平面DFG， ∴平面DFG⊥平面CDE.
此时，如平面图所示，延长CB，FG交于点H， ∵O为CE的中点，EF＝CF＝2BC， 由平面几何知识易证△HOC≌△FOE， 1
∴HB＝BC＝EF.
2
BG11
由△HGB∽△FGE可知＝，即BG＝BE.
GE23
思维升华 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.
(2016·北京东城区模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，
M为棱AC的中点.AB＝BC，AC＝2，AA1＝2.
(1)求证：B1C∥平面A1BM； (2)求证：AC1⊥平面A1BM；
(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时不存在，请说明理由.
(1)证明 连结AB1与A1B，两线交于O点，连结OM，
BN的值；如果BB1
在△B1AC中，∵M，O分别为AC，AB1中点，
10
∴OM∥B1C，
又∵OM?平面A1BM，B1C?平面A1BM， ∴B1C∥平面A1BM.
(2)证明 ∵侧棱AA1⊥底面ABC，BM?平面ABC， ∴AA1⊥BM，
又∵M为棱AC中点，AB＝BC，∴BM⊥AC. ∵AA1∩AC＝A，∴BM⊥平面ACC1A1， ∴BM⊥AC1. ∵AC＝2，∴AM＝1.
又∵AA1＝2，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中， tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝2. ∴∠AC1C＝∠A1MA，
即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°， ∴A1M⊥AC1.
∵BM∩A1M＝M，∴AC1⊥平面A1BM. (3)解 当点N为BBBN1中点，即BB＝1
时， 12
平面AC1N⊥平面AA1C1C. 证明如下：
设AC1中点为D，连结DM，DN.
∵D，M分别为AC1，AC中点， ∴DM∥CC＝1
1，且DM2
CC1.
又∵N为BB1中点，∴DM∥BN，且DM＝BN， ∴MBND为平行四边形，∴BM∥DN， ∵BM⊥平面ACC1A1，∴DN⊥平面ACC1A1. 又∵DN?平面AC1N，∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.
17.立体几何证明问题中的转化思想
11
典例 (14分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点.
求证：(1)AN∥平面A1MK； (2)平面A1B1C⊥平面A1MK.
思想方法指导 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；
(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等； (3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范. 规范解答
证明 (1)如图所示，连结NK.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形， ∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，
C1D1∥CD，C1D1＝CD.
∵N，K分别为CD，C1D1的中点， ∴DN∥D1K，DN＝D1K，
∴四边形DD1KN为平行四边形，
∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，
[2分]
[3分]
∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K. ∵A1K?平面A1MK，AN?平面A1MK， ∴AN∥平面A1MK.
[4分]
[6分]
(2)如图所示，连结BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1. ∵M，K分别为AB，C1D1的中点， ∴BM∥C1K，BM＝C1K，
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