2014– 2015学年第一学期《高等数学AI》试卷
2015年1月13日
一 得 分 二 三 四 五 总分 一、 选择题（共6道小题，每小题 3分，满分18分）.
1．当x?0时，f?x??x?sinax与g?x??x2ln?1?bx?是等价无穷小，则（ ）.
1111(A) a?1,b?? (B)a?1,b? (C) a??1,b?? (D)a??1,b?
66661??xsin,x?0?2．函数f(x)??在x?0点存在二阶导数，则（ ）. x?x?0?0,(A) ??1 (B) ??2 (C) ??2 (D) ??3 3．设曲线y?x2?ax?b与2y??1?xy3在点(1,?1)处有公共切线，则a,b的值分别为（ ）.
(A) 0,2
(B) ?1,?1
(C) ?1,1 (D) 1,?3
xf??(x)4．设f(x)在x?0点附近有二阶连续导数，且lim?1,则（ ）.
x?01?cosx(A) f??(0)?0，但(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点 (B) f??(0)?0，且f(0)是f(x)的极小值 (C) f??(0)?0,且(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点 (D) f??(0)?0，且f(0)是f(x)的极小值
5．函数f?x?在x?0处连续，下列命题是不正确的是（ ）
fx (A) 若lim??存在，则f?0??0
x?0x(共 6 页 第1页)
f?x??f?-x?存在，则f?0??0
x?0xf?x?(C) 若lim存在，则f??0?存在
x?0xf?x??f?-x?(D) 若lim存在，则f??0?存在 x?0x(B) 若lim6. 已知F?(x)?f(x)，则(A) F(x)?F(a) (C) F(t)?F(a)
得 分
?xaf(t?a)dt?( )．
(B)F(x?a)?F(2a) (D) F(t?a)?F(2a)
二、填空题（共6小题，每小题 3分，满分18分）.
?kn?5?1．若lim?1??n???n??e?10,则k?_________.
2．y?f?x?由方程x3?y3?sinx?6y?0确定，则dy?x?0?_________. 3．若f(x)?4．
21?x, 则f(n)(1)= __________. 1?x?x??x?dx= _________. 2 ??2?1?x??x25．曲线y?的斜渐近线方程为 _________.
1?x6．设函数连续f(x)连续，?(x)??xf(t)dt，若?(1)?1,?'(1)?5,则f(1)?
0x2_________. 得 分 二、 解答题（共7道题，每小题7分，满分49分）.
?x?acos3tdyd2y1．已知函数y?y(x)由方程 ? 确定，求，2. 3dxdx?y?asint2．证明当x?0时, 1?xln(x?1?x2)?1?x2.
3．求
?10e3x?1dx.
(共 6 页 第2页)
4．求?x2?1dx. 4x?ax2?bx?c,x?05．已知f(x)??在x?0点有二阶导数,试确定常数a,b,c的值.
x?0?ln(1?x),[t?6．求lim1x???x2(e?1)?t]dt1t1x2ln(1?)x.
7．讨论函数f(x)?4x3?18x2?27,x?[0,2]的单调性,并确定它在该区间上的最大值最小值．
四、（本题满分9分 ） 得 分
x??1??设f?x??limt2sin?g?2x???g?2x??,g?x?的一个原函数为
t??t??t??1ln?x?1?，求 I??0f?x?dx.
得 分
五、（本题满分6分）设f?x?在?0,1?上连续,在?0,1?内可导,且满
1k01?x足 f ?1??k?xef?x?dx,k?1,证明至少存在一点???0,1?,使得
f?????1???1f???.
??(共 6 页 第3页)
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