6. （2020·四川广安·6分）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE． 【解答】证明：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠DAE，CD=BC， ∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°． 在Rt△CDF与Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL）， ∴DF=BE．
7. （2020·四川乐山·9分）如图9，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连结CE、DF.
求证:CE?DF. 解析：
AEBF图9DC?ABCD是正方形，?AB?BC，?EBC??FCD?90?.………(3分)
又?E、F分别是AB、BC的中点，
?BE?CF，………………………(5分) ??CEB??DFC，………………………(7分) ?CE?DF.………………………(9分)
8. （2020·四川凉山州·8分）如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O且与BC、AD分别交于点E、F．试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】先猜出AE与CF的关系，然后说明理由即可，由题意可以推出四边形AECF是平行四边形，从而可以推出AE与CF的关系． 【解答】解：AE与CF的关系是平行且相等． 理由：∵在，?ABCD中， ∴OA=OC，AF∥EC， ∴∠OAF=∠OCE， 在△OAF和△OCE中，
，
∴△OAF≌△OCE（ASA）， ∴AF=CE， 又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE∥CF且AE=CF，
即AE与CF的关系是平行且相等．
9. （2020湖北襄阳，19，6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． （1）求证：AB=AC； （2）若AD=2
，∠DAC=30°，求AC的长．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）先证明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可证明．
（2）先证明AD⊥BC，再在RT△ADC中，利用30°角性质设CD=a，AC=2a，根据勾股定理列出方程即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°， 在RT△DEB和RT△DFC中，
，
∴△DEB≌△DFC， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形30°性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，记住直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，属于中考常考题型．
10. （2020湖北孝感，18，8分）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】要证明BE=CD，只要证明AB=AC即可，由条件可以求得△AEC和△ADB全等，从而可以证得结论．
【解答】证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E， ∴∠ADB=∠AEC=90°， 在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC（ASA） ∴AB=AC， 又∵AD=AE， ∴BE=CD．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
11. （2020吉林长春，22，9分）感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．
探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB=DC． DB=DC=a，∠B=45°，∠C=135°，应用：如图3，四边形ABCD中，则AB﹣AC= 含a的代数式表示）
a （用
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】探究：欲证明DB=DC，只要证明△DFC≌△DEB即可． 应用：先证明△DFC≌△DEB，再证明△ADF≌△ADE，结合BD=
EB即可解决问题．
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