14. （2020年浙江省温州市）如图，E是?ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE．
（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
AB∥CD，【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，证出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，
由AAS证明△ADE≌△FCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF， ∵E是?ABCD的边CD的中点， ∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS）； （2）解：∵ADE≌△FCE， ∴AE=EF=3， ∵AB∥CD，
∴∠AED=∠BAF=90°， 在?ABCD中，AD=BC=5， ∴DE=
=
=4，
∴CD=2DE=8． 15．（2020.山东省泰安市）（1）已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60°（如图①）．求证：EB=AD；
（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由； （3）若将（1）中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”，其它条件不变，则的值是多少？（直接写出结论，不要求写解答过程）
【分析】（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；
（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；
（3）作DF∥BC交AC于F，同（1）得：△DBE≌△CFD，得出EB=DF，证出△ADF是等腰直角三角形，得出DF=
AD，即可得出结果．
【解答】（1）证明：作DF∥BC交AC于F，如图1所示： 则∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE， ∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠DBE=120°，∠ADF=∠AFD=60°=∠A， ∴△ADF是等边三角形，∠DFC=120°， ∴AD=DF， ∵∠DEC=∠DCE， ∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，
在△DBE和△CFD中，，
∴△DBE≌△CFD（AAS）， ∴EB=DF， ∴EB=AD； （2）解：EB=AD成立；理由如下： 作DF∥BC交AC的延长线于F，如图2所示：
同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD， 又∵∠DBE=∠DFC=60°，
∴在△DBE和△CFD中，∴△DBE≌△CFD（AAS）， ∴EB=DF，
，
∴EB=AD；
（3）解： =；理由如下：
作DF∥BC交AC于F，如图3所示： 同（1）得：△DBE≌△CFD（AAS）， ∴EB=DF，
∵△ABC是等腰直角三角形，DF∥BC， ∴△ADF是等腰直角三角形， ∴DF=∴∴
==
AD， ， ．
16．（2020·江苏连云港）四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．
【分析】（1）根据已知条件得到BF=DE，由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，连接AC交BD于O，根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF，由平行线的判定得到AD∥BC，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵BE=DF， ∴BE﹣EF=DF﹣EF， 即BF=DE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°， 在Rt△ADE与Rt△CBF中，∴Rt△ADE≌Rt△CBF；
，
（2）如图，连接AC交BD于O， ∵Rt△ADE≌Rt△CBF， ∴∠ADE=∠CBF， ∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
18．（2020?呼和浩特）已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）求证：2CD2=AD2+DB2．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）本题要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，则DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因为两角有一个公共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD． （2）由（1）的论证结果得出∠DAE=90°，AE=DB，从而求出AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2． 【解答】证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴AC=BC，CD=CE， ∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD， ∴∠ACE=∠BCD， 在△ACE和△BCD中，
，
∴△AEC≌△BDC（SAS）；
（2）∵△ACB是等腰直角三角形， ∴∠B=∠BAC=45度． ∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45°
+45°=90°∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°， ∴AD2+AE2=DE2．
由（1）知AE=DB，
∴AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2．
19．(2020福州，21,10分)一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．
【考点】全等三角形的性质．
【分析】在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】证明：在△ABC和△ADC中，有∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC=∠DAC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．
，
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