2009年新知杯上海市高中数学竞赛

2009年新知杯上海市高中数学竞赛

李大元;熊斌;顾鸿达;叶声扬;刘鸿坤

【摘 要】@@ [说明]解答本试卷不得使用计算器.\\r\\n一、填空题(第1～4小题每小题7分,5～8小题每小题8分,共60分)\\r\\n1．设a1,a2,…,a10∈(1,+∞),则loga1 2009+loga2 2009+…+loga10 2009/loga1a2…a10 2009的最小值是__. 【期刊名称】《中等数学》 【年(卷),期】2010(000)007 【总页数】4页(P28-30,38)

【作 者】李大元;熊斌;顾鸿达;叶声扬;刘鸿坤 【作者单位】 【正文语种】中 文

【中图分类】大学学报(工业技术)

28中 等 数 学 2009年 新 知 杯 上 海 市 高 中 数 学 竞赛中图分类号 ： (A24.79文献标识码 ： A文章编号 ： 1005-6416(2010)07-0028-03【说明 】 解答本试卷不得使用计算 器．

一、填空 题 （ 第 1~4小题每小题 7 分 ， 5— 8 小题每小题 8 分 ，共 60 分 ） 1 ． 设 ai ，a2 ， … ，aio ∈(1 ， +oo) ． 贝 0 logn12

009+l09a22009+ …+log0102009 109 Ⅱ I。2…dl02009 的最小值是一____．

2 ．已知 石 、） ，∈ N+ ，且 1+2+ … +),=l+9+92+ …92— 1.则将 y表 示 成 x 的 函 数 ， 其 解 析 式 是 y2____ ．

3 ． 已知 函数f(x)=Ix2-2I ． 若厂 (n)= f6 ） ， 且 O

4 ． 满足方程l092[ 孔≮ （ 夥卜五麦 丽】= 一广+y+ 寻的所有实数对 （ 戈 ，） ， ） = 一一．

5 ． 若[a] 表示 不 超 过 实数 n 的最 大 整数 ，则方程 [ tan 戈 ]=2sin2x 的解是__．

6 ． 不等式 2z'$3× 2.+.C+4 × 22/; 的解集 是____ ．

7 ． 设 A 是 由不超过 2009 的所有正整数构成 的集合 ， 即 A={1 ，2 ， …，2009}， 集 合 ￡∈A，且己中任意两个不 同元素之差都不等于 4 ． 则 集 合 L 元 素个 数 的最 大 可 能 值 是一________ ．

8 ． 平面内给出一个凸十边形及其所有对角线 ，在这样 的图 中至少有两个顶点是该凸 十边形顶点的i 角形有____个 （ 用 数字作 答 ）． 二 、 解答题（ 共 60 分 ）

9 ． （ 14 分 ） 设 函 数 f(x) 定 义 于 闭 区 间 r0 ， 1] ， 满 足 ／ (0)=O， ／ (I)=1 ，且对 任 意算 、） ，∈ [0 ，1] （ 算 ≤， ， ） ，都有／ ’ （ 苎 茅 ） =(l-az) 以z ） +a2f(y) ，其中 ，常数 口 满足 0

值． 10 ． （ 14 分） 如图 l ， 4 是 双 曲线 x4- y2=1的右顶点 ， 过 A 的两 条 互相 垂 直 的 直 线 分 别 与双 曲线 的 右 支 交 于 点肘 、 Ⅳ．问 ：直 线 MN┏ ━ ━ ━ ━ ━ ┓ ┃“ 了 A 仄 ~┃ ┣ ━ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃一 N 彳┃ ┗ ━ ━ ━ ━ ━ ┛是否一定过 戈

轴上一定点？ 如果不存在这样 的定点 ， 请说 明理 由；如 果 存在这样 的定 点P，试求出这个定点 P 的坐标． 11 ． （ 16 分 ） 设 A 、 B 是 集合 { ai ， a2 ， a3 ， a4 ，n ， }的两个不 同子集 ，使得 A 不是 B 的子集 ，B也不是 A 的子集． 求不 同的有序集合对（ A ，B 的组数．12.（ 16 分 ） 设 正 整数构 成 的数列 {n。 }使得a10h_9+alo}_8+ …+a10k ≤ 19 对一切 后∈ N ． 恒成立． 记该数列若干连续项的和 ∑ ap 为 S(i ， ， ) ，其 中，i 、 j ∈ N+ ，且 i<工求证 ：所有 S(i ， J)构成的集合等于 N+ ．参 考 答 案 一、 1.100 ．一 （姜 眢） 罐 掣 = （ 薯 去 ） （ 姜 如． ）中等数学文章编号 ： 1005-6416(2010)07-0028-03 1．设ai，a2，…，aio∈(1 ， +oo) ． 贝 0 logn12 009+l09a22009+ …+log0102009 109ⅡI。2…dl02009的最小值是一____． 1+2++),=l+9+92+…92—1.则将 y y2____ ． 3已知 函数f(x)=Ix2-2I ． 若厂 (n)=则ab的 取 值 范 围

是......,..___.___________. 4满足方程 l092[孔≮ （ 夥卜五麦 丽】=一广+y+寻 5若[a] 表示 不 超 过 实数 n 的最 大 整 6不等式 2z'$3×2.+.C +422/; 的解集是____ ． 7A是 由不超过 2009 的所有正整数，2 009}， 集 合￡∈A于4则 集 合 L 元 素个 数 的最 大 可 能 值 是一________ 8平面内给出一个凸十边形及其所有对角线 ，在这样 的图 中至少有两个顶点是该凸十边形顶点的i 角形有____个 （ 用 数字作答 ）

二、解答题（ 共 60 分 ） 9（14分 ） 设 函 数 f(x) 定 义 于 闭 区 间 r01]满 足 ／ (0)=O／(I)=1算、），∈ [0 ，1] （ 算 ≤， ， ） ，都有’苎茅 ） (l-az) 以z ） +a2f(y) ， 10 ．分） 如图 l ，是 双 曲线 x4 - y2 =1的右顶点 ， 过 A 的两 条互相 垂 直 的 直 线 分 别与双 曲线 的 右 支 交 于点肘Ⅳ．问 ：直 线 MN┏━┓┃“了仄~┣┫N彳┗┛是否一定过 戈 轴上一定点？ 如果不存在这样的定点 ， 请说 明理 由；如 果 存在这样 的定 点 P，试求出这个定点 P 的坐标． 11 ．16分 ） 设 A 、 B 是 集合 { ai ， a2 ， a3 ， a4，n}的两个不 同子集 ，使得 A 不是 B 的子，B