全国初中数学奥林匹克竞赛试卷（八年级）
一、选择题（本大题共6小题，每个小题7分，满分42分），每小题均给出四个选项，其中有且仅有一个正确的选项，请将正确的选项的代号填在下表指定的位置
题号 正确选项 1 2 3 4 5 6 得分 1、已知三点A（2,3),B(5，4)，C（-4，1）依次连接这三点，则 A、构成等边三角形 B、构成直角三角形 C、构成锐角三角形 D、三点在同一直线上 17解：AB的解析式为y=3 x+3
当x= -4时，y=1，即点C在直线AB上，∴选D 2、边长为整数，周长为20的三角形个数是（ ） A、4个 B、6个 C、8个 D、12
解 设三进行三边为a、b、c且a≥b≥c，a+b+c=20，?a≥7， 又b+c＞a，2a＜20?a＜10，又7≤a≤9，可列出（a、b、c） 有：（9，9，2）（9，8，3）（9，7，4）（9，6，5）
（8，8，4）（8，7，5）（8，6，6）（7，7，6）共八组，选C 3、N=31001+71002+131003，则N的个位数字是（ ） A、3 B、6 C、9 D、0
解 31001的个位数字为3，71002的个位数字为9，131003的个位数字为7，∴N的各位数字为9，选C
4、P为正方形ABCD内一点，若PA:PB:PC=1：2：3，则∠APB的度数为（ ） A、120° B、135° C、150° D、以上都不对 解：过P作BP’⊥BP，且使BP’=BP，连P’A 易得△P’AB≌△PBC,则P’A=PC,设PA=k，则PB=2k， PC=P’A=3k，连PP’,则Rt△PBP’中，∠P’PB=45° 且PP’=22 k，在△P’AP中有：P’A2=P’P2+PA2,
∴∠P’PA=90°，∴∠APB=135° 选B
a2+111
5、在函数y= -x （a为常数）的图象上有三点：（-1，y1）（-4 ，y2）（2 ，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A、y1＜y2＜y3 B、y3＜y2＜y1 C、y3＜y1＜y2 D、y2＜y1＜y3 ∵-（a2+1）＜0，∴在每个象限，y随x的增大而增大，因此y1＜y2 1
又∵（-1，y1）在第二象限，而（2 ，y3）在第四象限，∴y3＜y1 选C a+bb+ca+c
6、已知a+b+c≠0，且c =a =b =p，则直线y=px+p不经过（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
a?b?cp?2(a?b?c)?p(a?b?c)??解 a?c?ap????p?2
a?b?c?0?c?a?bp??因此，直线y=px+p不可能通过第四象限，选D
二、填空题（本大题有4小题，每小题7分，满分28分）请将正确答案填在下表的指定位置
题号 正确答案 2
7 8 9 10 得分 2a5-6a4+2a3-a2-17、如果a是方程x-3x+1=0的根，那么分式 的值是 ； 3a
3222
2a(a-3a+1)-(a+1)a+12
解 根据题意a-3a+1=0，原式= =-3a =-1，∴填-1 3a
8、甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录仪表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1.01米，经过计算，这条跑道长度不标准，这这条跑道比100米多 ；
解 设跑道实际长为x米，甲、乙两位机器人的速度分别为v甲，v乙，甲距离终v甲x-1点1米时说花的时间为t，v乙·t=x-2，于是 =x-2
v乙
又设甲到达终点时所花的时间为t’则v甲·t’=x，v乙·t’=x-1.01 v甲xx-1x
于是 =x-1.01 ，因此可得方程x-2 =x-1.01 ，解得x=101米，
v乙因此，这条跑道比100米多1米，填1
9、根据图中所标的数据，图中的阴影部分的面积是 ； 解 有对称性可知5个三角形中的面积为S0=S’0, S1=S’1, 且S01
=3
S2 即2S0=3S1, 又2S=15=152545
0+S12 即3S1+ S12 , S1=8 S0=16
又S25填25
2+S1=2,∴S2=5-S1=8 8
10、有三个含有30°角的直角三角形，它们的大小互不相同，但彼此有一条边相等，这三个三角形按照从大到小的顺序，其斜边的比为 ；
解 设三角形甲的勾=三角形乙的股=三角形丙的弦，则三者的弦分别为2，23
3 ，1
即所求比为2：231，填2：23
3 ：3 ：1
三、解答题（本大题共有3小题，第11小题20分，第12、13小题各25分，满分70分）
11、已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点， 求证：△CMN是等边三角形 证明：∵△ACD≌△BCE ∴AD=BE,AM=BN ……6分 又∵△AMC≌△BNC
∴CM=CN,∠ACM=∠BCN ……12分 又∠NCM=∠BCN-∠BCM ∠ACB=∠ACM-∠BCM ∴∠NCM=∠ACB=60°
∴△CMN是等边三角形 ……20分
12、已知n是大于1的整数
求证：n3可以写出两个正整数的平方差 n
证明：n3=（2 ）2·4n ……8分
n
=（2 ）2[(n+1)2-（n-1）2] ……15分
nn
=[2 (n+1)]2-[2 (n-1)]2 ……20分
∵n（n+1），n（n-1）不仅大于1，而且均能被2整除 nn
∴2 (n+1)，2 (n-1)均为正整数 因此，命题得证 ……25分
21
13、已知正整数x、y满足条件：x +y =a，（其中，a是正整数，且x＜y） 求x和y
2111解 ∵x≥1，y≥2，x +y ≤2+2 ，即a≤22 因此a=1或a=2
211
当a=1是，x +y =1，若x=1，则y =-1，与y是正整数矛盾，∴x≠1， 1
若x=2，则y =0，与y是正整数矛盾，∴x≠2 212121
若x≥3，则x +y ≤3 +4 ＜1，与x +y =1矛盾，∴x＜3 综上所述，a≠1
211
当a=2时有x +y =2，若x=1，则y =0，与y是正整数矛盾，∴x≠1 212121
若x≥3，则x +y ≤3 +4 ，与x +y =2矛盾，∴x＜3 因此1＜x＜3，∴x=2，y=1
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