2019年杭二中学保送生考试数学模拟试卷(含答案)

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此时，抛物线的解析式为y＝

12

(x－40) ＋6 100

令x=0则y=22

∴电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有22米的高度。 （2）①以D为坐标原点，DC方向为x轴正方向建立直角坐标系。

12

设此时抛物线解析式为y＝ x＋bx＋c

1003

易知：E（0,20）F（50,30），代入解析式可求得b＝－，c＝20.

10∴ y＝

123

x－x＋20 10010

1

易求得斜坡所在直线的解析式为：y=x

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设一条与x轴垂直的直线x=m与抛物线交于M，与斜坡交于N。

123112

则：MN= m－m＋20－m＝ (m－25) ＋13.75

100105100∴ 当m=25时，MN的最小值为13．75

即在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为13．75米。 ②22米 19.解：（1）令y=0，则-x-1=0，解得x=-1， 所以，点A的坐标为（-1，0）， 2设抛物线解析式为y=ax+bx+c， ∵B（3，0），C（0，-3）在抛物线上， ???a－b＋c＝0，?a＝1，∴?9a＋3b＋c＝0，，解得?b＝－2，， ???c＝－3；?c＝－3；所以，抛物线解析式为y=x-2x-3； （2）∵P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点， 2∴设点P（x，-x-1），则点E的坐标为（x，x-2x-3）， 129222PE=（-x-1）-（x-2x-3）=-x-1-x+2x+3=-x+x+2，=-（x-）+， 24联立??y＝－x－1，22?x1＝－1，?x2＝2，，解得?，?， ?y＝x－2x－3?y1＝0?y2＝－3所以，点D的坐标为（2，-3）， ∵P是线段AD上的一个动点，∴-1＜x＜2， 19∴当x=时，PE有最大值，最大值为； 24（3）∵y=x-2x-3=（x-1）-4， ∴点F的坐标为（1，-4），点G的横坐标为1，y=-1-1=-2， ∴点G的坐标为（-1，-2），∴GF=-2-（-4）=-2+4=2， ∵四边形GFEP为平行四边形，∴PE=GF， 2∴-x+x+2=2，解得x1=0，x2=1（舍去）， 此时，y=-1，∴点P的坐标为（0，-1）， 故，存在点P（0，-1），使得四边形GFEP为平行四边形； （4）存在．理由如下： ①当点H在x轴下方时，∵点Q在x轴上，

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∴HD∥AQ， ∴点H的纵坐标与点D相同，是-3， 2此时，x-2x-3=-3， 2整理得，x-2x=0， 解得x1=0，x2=2（舍去）， ∴HD=2-0=2， ∵点A的坐标为（-1，0）， -1-2=-3，-1+2=1， ∴点Q的坐标为（-3，0）或（1，0）； ②当点H在x轴上方时，根据平行四边形的对称性，点H到AQ的距离等于点D到AQ的距离， ∵点D的纵坐标为-3， ∴点H的纵坐标为3， 2∴x-2x-3=3， 2整理得，x-2x-6=0， 解得x1=1-7，x2=1+7， ∵点A的横坐标为-1，点D的横坐标为2， 2-（-1）=2+1=3， 根据平行四边形的性质，1-7+3=4-7，1+7+3=4+7， ∴点Q的坐标为（4-7，0）或（4+7，0）， 综上所述，存在点Q（-3，0）或（1，0）或（4-7，0）或（4+7，0），使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形． 20.解：由题意易知，这32个人恰好是第2层至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数．事实上，设住s层的人乘电梯，而住在t层的人直接上楼，s＜t，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意的总分减少． 设电梯停在第x层，在第1层有y人没有乘电梯即直接上楼，那么不满意的总分为： s=3[1+2+3+…+（33-x）]+3（1+2+…+y）+[1+2+…+（x-y-2）]， 3×(33－x)(34－x)3y×(y＋1)(x－y－2)×(x－y－1)=++， 222=2x-（y+102）x+2y+3y+1684， y＋102212=2（x-）+（15y-180y+3068）， 48y＋1022152=2（x-）+（y-6）+316≥316． 48又当x=27，y=6时，s=316， 故当电梯停在第27层时，不满意的总分最小，最小值为316．

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22.解:(1)设抛物线为y?ax2?bx,把A(4,0),B(5,5)代入得16a?4b?0a?125a?5b?5(2)作BE?OC于E,?CE?9,b??4?y?x2?4x即2分55?,CE9C(0,?4)95BE5?,CE9OC?CE?OE?9?5?4,??tan?OCB?得5k1?b?5b??49x?45(3)设直线OB为:y?k2x,?y?设P(m,m)5分??BPQ??BOCBPOC?时都有?PQB与?BOC相似PQOBOP?2m,?PB?52?2m,4解得m1?5解得m3?9分52

设直线l为:y?k1x?b,k1?4分得5k2?5,?k2?1,y?x?PQ平行于Y轴,BPOB当?或PQOC6分?OB?52?52?52,BPOB当?PQOC当BPOC?PQOBPQ?m?(m2?4m)?5m?m252?2m52即?245m?m即m2?5(舍去)m4?5(舍去)7分8分52?2m4?5m?m2524455所以P点的坐标为P1(,),P2(,)5522

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