最新人教版高中数学必修5第一章《正弦定理》2

数学人教B必修5第一章1.1.1 正弦定理

1．理解正弦定理及其相关变式的推导过程；

2．掌握正弦定理，并初步学会用正弦定理解决简单的三角形度量问题．

1．正弦定理 文字语言 在一个三角形中，各边的长和它所对角的____的比相等 符号语言 a＝______＝______ sin A

(1)从方程的观点看，正弦定理有三个等式，可视为三个方程，每个方程含有四个量，可知三求一．

(2)适用范围：对任意的三角形都成立．

(3)结构形式：分子为边长、分母为该边所对角的正弦的连等式．

(4)在同一三角形中边角的不等关系：若∠A＞∠B＞∠C，可得a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin C；

反之，若sin A＞sin B＞sin C，可得a＞b＞c，则∠A＞∠B＞∠C． 【做一做1－1】在△ABC中，一定成立的等式有( )． A．asin A＝bsin B B．asin B＝bsin A C．acos A＝bcos B D．acos B＝bcos A

【做一做1－2】在△ABC中，已知AC＝2，BC＝3，sinA?3，则sin B＝( )． 522 B． 533C． D．无法确定

5A．

2．正弦定理的适用范围

利用正弦定理，可解决两类解斜三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求____________；

(2)已知两边和其中一边的对角，求__________，进而求出其他的边和角． 【做一做2】在△ABC中，已知a?43，b＝4，∠A＝30°，则∠B＝________. 33．解三角形

解三角形是指由三角形的六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余三个未知元素的过程．

一、判断三角形解的个数 剖析：(1)代数法

b

在△ABC中，已知a，b，∠A，由正弦定理可得sin B＝sin A＝m.

a

①当sin B＞1时，这样的∠B不存在，即三角形无解． ②当sin B＝1时，∠B＝90°，若∠A＜90°，则三角形有一解，否则无解．

③当sin B＜1时，满足sin B＝m的角有两个，其中设锐角为∠α，钝角为∠β，则当∠A＋∠α＞180°时，三角形无解；当∠A＋∠α＜180°，且∠A＋∠β＜180°时，有两解；当∠A＋∠α＜180°且∠A＋∠β＞180°时有一解．

(2)几何法

根据条件中∠A的大小，分为锐角、直角、钝角三种情况，通过几何作图，得出解的情况．作出已知∠A，以A为圆心，边长b为半径画弧交∠A的一边于C．使未知的边AB水平，顶点C在边AB上方，以点C为圆心，边长a为半径作圆，该圆与射线AB交点的个数，即为解的个数，如下表所示：

∠A为锐角 ∠A为钝角或直角 图形 ① ② 关系式 解的个数 ①a＝bsin A bsin A＜a＜②a≥b b 一解 两解 a＜bsin A 无解 a＞b 一解 a≤b 无解 二、教材中的“探索与研究”

abc

在正弦定理中，设＝＝＝k.请研究常数k与△ABC外接圆的半径R的关

sin Asin Bsin C系．(提示：先考察直角三角形)

abc

剖析：(1)如图1，当△ABC为直角三角形时，直接得到＝＝＝2R(a，b，

sin Asin Bsin Cc分别为△ABC中角A，B，C的对边，R为外接圆半径)．

(2)如图2，当△ABC为锐角三角形时，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD．因为aabcab

∠A＝∠D，所以在Rt△BCD中，＝＝2R，同理＝＝2R，即＝＝

sin Asin Dsin Bsin Csin Asin Bc

＝2R. sin C

(3)如图3，当△ABC为钝角三角形且∠A为钝角时，连接BO并延长交圆O于点D，连

aaa

接CD，∠A＝180°－∠D，所以＝＝＝2R.

sin Asin ?180°－D?sin D

bcabc

由(2)知＝＝2R，即＝＝＝2R.

sin Bsin Csin Asin Bsin Cabc

综上所述，对于任意△ABC，＝＝＝2R恒成立.

sin Asin Bsin C