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平新乔《微观经济学十八讲》第13讲 委托—代理理论初步
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1．一家厂商的短期收益由R?10e?e2x给出，其中e为一个典型工人（所有工人都假设为是完全一样的）的努力水平。工人选择他减去努力以后的净工资w?e（努力的边际成本假设为1）最大化的努力水平。根据下列每种工资安排，确定努力水平和利润水平（收入减去支付的工资）。解释为什么这些不同的委托—代理关系产生不同的结果。
（1）对于e?1，w?2；否则w?0。 （2）w?R/2。 （3）w?R?12.5。 解：（1）对于e?1，w?2；否则w?0，此时工人的净工资为：
?2?ee?1w?e??
?ee?1?所以e*?1时，工人的净工资最大。
雇主利润为：
?*?R?w?10e?e2x?2?10?x?2?8?x
工人的净工资线如图13-1所示。
图13-1 代理人的净工资最大化
（2）当w?R/2时，工人的净工资函数为：
11w?e?5e?e2x?e??e2x?4e
22净工资最大化的一阶条件为：
d?w?e?de??ex?4?0
解得：e??4。 x985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
?
2111?4?4??12雇主利润??R?R?R??10?????x??。
222?x?x????xBorn to win
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（3）当w?R?12.5时，工人的净工资函数为：
w?e?10e?e2x?12.5?e??e2x?9e?12.5
净工资最大化的一阶条件为：
d?w?e?de??2ex?9?0
解得：e??4.5。 x此时雇主利润为?*?R??R?12.5??12.5。
（4）这些不同的委托—代理关系之所以会产生不同的结果是因为：无论是代理人还是委托人，他们的行动标准都是实现自身利益的最大化，但两者的利益最大化目标有时会发生冲突，委托人制定激励机制正是要解决这一问题。而以上的不同的工资制度所得到的不同的结果反映了委托人在这方面的努力，同时也说明了各种制度所激发的代理人的努力程度不同。第一个小题反映的是对工人设计一个激励机制，并且假设工人是风险回避的，厂商承担了所有的风险。第二个小题假设工人是风险中性的，由工人与厂商共同承担风险。第三个小题假设厂商是风险回避的，因此厂商只得到固定的收益，而由工人承担全部的风险。
2．假定有几位企业家，每位企业家都有一个投资项目。每个项目的总收益R，它服从于?a,b?上的均匀分布，这里a?100，b?150。每个项目的成本为100，而所有的企业家都没有自有资金。若银行向企业家贷款，银行是委托人，企业家则成了代理人。银行为了观察与监督企业家对资金的使用情况，则要在每一项目上花费5（观察的成本）。
问：
（1）项目的期望毛收益E?R?为多少？
（2）如果银行需要以25%为利率去吸引存款，上述项目能从银行贷到资金吗？说明你的理由。
（3）如银行以10%的利率去吸引存款，又要监管所有项目，则银行从项目的收益R中要分多高的百分比才能使银行收支相抵？
（4）（3）问中的分享合约在有监督成本的条件下能产生纳什均衡吗？为什么？
答：（1）每个项目的总收益为R，其服从?100,150?上的均匀分布，故项目的期望毛收益为：
E?R??100?150?125 2（2）银行的期望收益率为：
150?100?1002r??25? 100如果银行需要以25%的利率去吸引存款，上述项目不能从银行贷到资金。因为此时每100985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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元贷款的收益率为25%，但是银行使用这笔资金成本为30%，收益小于成本，对外贷款会使银行亏损。
（3）银行使用每100元资金的成本为10?5?15元，所以银行从项目的回报R中分得的百分比不能低于15/25?60%。
（4）在第三小题的条件下可以存在纳什均衡。 在这里监督成本是固定的，且利率加监督成本之和为15%，而企业的项目收益率为25%，这样在15%到25%之间的任何一种分配方式都是可行的。
3．考虑一个道德风险模型。在这里，所有者是风险中立的，而代理人的偏好是被定义于其收入w的均值与方差以及其付出的努力e之上的，代理人的期望效用为
E?u??E?w???Var?w??g?e?
这里，g?e?代表代理人的努力成本，且g??0??0；g??e?，g??e?，g???e??0，当e?0时，并且limg??e???，e的可能值为eR?。利润?是取决于e的，并且?服从正态分布，其
e??均值为e，方差为?2。
（1）考虑线性契约：w????????，证明：当w???，e与?2给定时，代理人的期望效用为
?+?e???2?2?g?e?
（2）推导：当e可观察时的最优契约。
（3）当e是不可观察时，请导出最优线性契约。
解：（1）由w????????，且?服从正态分布，其均值为e，方差为?2，则收入w的均值与方差分别为：
E?w??E??????????E???????e Var?w??Var????????2Va?????2?2
把上述两式代入代理人的期望效用的表达式，就有：
E?u?????e???2?2?g?e?
（2）当e可以观察时，委托人可以直接规定利润最大化的努力水平，并在达到最优努力水平时给予代理人达到保留效用水平的工资，即：
?，?，emaxEU?e????e22s.. t???e?????g?e??0
从约束条件中解出?的表达式，并代入目标函数式中，就有：
maxe???2?2?g?e?
?，e从而解得?*?0，e*满足g??e*??1，??g?e*?，于是最优激励机制就是：若代理人的985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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努力水平为e*，那么w?g?e*?；否则，w?0。
（3）当代理人的努力不可观察时，对于给定的激励（即工资表达式中的?，?是给定的），代理人的最大化问题是：
22max?????e?????g?e??? e解得：g??e???。
由于g??e?单调，所以给定任何一个?，都存在唯一的努力水平满足式g??e???，记该函数关系为e???，它有以下三条性质：
①由于g??0??0，所以e?0??0，并且e???在?0,???上有连续的二阶导数。 ②式g??e???的两边关于?求导得到g??e?e?????1，从而解得e?????③等式e?????1g????1?0。 g????的两边关于?求导得到e??????g?????e??????g??????2?0。
给定代理人的努力水平e???，委托人的最大化目标为：
maxE??e??????E?w???1???e??????，?s.. tEU????e????????ge????022 ①
从①式中解出?的表达式，并代入目标函数式中，就有：
maxe??????2?2?g??e?????
?根据一阶条件可得：
2e?????2???2?g???e?????e?????e?????2?????e?????0 ②
从②式中解得???**，把该式代入①式中进而得到：
**?????**??2??**e??**? ???**?g?e?????2所以最优激励为：
w??**??**?
e????e?????2??2最后补充证明②式中解出的?**是唯一的。令f??????条性质可知f???在?0,???上有连续的导数。当??1时：
，则由e???的三
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当0???1时：
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?0
f??????e????e?????2??2?1?e????e?????2??2f?????1?2??2e?????e?????2???22
由e?????0可知f?????0，从而f???在?0,1?上是单调增加的。又因为：
f?0???e??0?e??0??2??2?0
f?1??0，这就说明f????0在区间?0,1?中有唯一的解，即e?????2???2??e?????0有
唯一的解。
4．考虑下列“道德风险”模型：代理人的行为有三种可能：E??e1,e2,e3?；而利润?的结果只有两种：?L?0与?H?10。高水平的?H是取决于努力水平e的，具体的条件概率为
f??He1??f??Hf??H231e2??
21e3??3代理人的努力成本函数是
538g?e2??
54g?e3??3g?e1??代理人的效用函数为v?w??w，并且代理人的保留效用为u?0。 求解：
（1）当e是可观察时，什么是最优契约？
（2）证明：若e不可观察，则e2是不会被代理人付诸实施的。g?e2?要等于多少才能使
e2被代理人付诸实施？（提示：应关注在e2时，什么是代理人的效用水平，而不要只看其
工资水平。）
｜e1??x??0,1?，如果e是可观察的，什么是当x?1时的（3）假定g?e1??8，且f??H最优契约？
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解：（1）若代理人的行动e可观察，当代理人采取行为i时，委托人制定最优工资计划的问题可以描述为：
?i?max?i??H?wH???1??i???L?wL?s?t??iWH??1??i?WL?g?ei??0
其中?i是当代理人采取行动i时，产生高利润?H的概率。从而解得三种行为下的最优工资计划和委托人相应的收入如表13-2所示：
表13-2 不同行为下的最优工资计划和委托人相应的利润
由表13-2可见，当委托人的工资计划为WH?WL?25/9时，代理人采取行动1，这时委托人获得最高利润35/9。
（2）①若e2是某种工资计划下代理人的最优行动选择，这就意味着：
??12WH?12WL?85?13WH?23WL?43 ???12WH?12WL?85?23WH?13WL?53其中，第一个不等式是说行动2给代理人带来的净效用大于行动3给代理人带来的净效
用；第二个不等式是说行动2给代理人带来的净效用大于行动1给代理人带来的净效用。整理这两个不等式得：
??16WH?16WL?415 ???16WH?16WL?115进而得到：
115?16WH?16WL?415
矛盾，所以e2是不会被代理人付诸实施的。
②e2若要被付诸实施，该行为的成本要满足：
??12WH?12WL?g?e2??13WH?23WL?43 ???12WH?12WL?g?e2??23WH?13WL?53整理得：
??16WH?16WL?g?e2??43 ???16WH?16WL?53?g?e2?为了使上面的不等式存在解，就有：
g?e2??4/3?5/3?g?e2?
即g?e2??1.5。
（3）当x?1时，代理人采取行动1的情况下，委托人的收益为10x?8?2。代理人采985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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取行动2和3对应的收益见第（1）问。由此可知，当x?1时，最优契约应当导致代理人采取行动2，即：若代理人采取行动2，则无论利润如何，其工资都是64/25；若代理人采取其他行动，则他的工资为零。
5．考虑下列基本的代理人模型
y?k?a?? ?～N?0,?2?
??这里，y为代理人对委托人的贡献，a是代理人的努力程度，k?0为参数（k可代表委托人为代理人所创造的工作环境与技术装备，k越高，则给定a会产生更大的贡献。）又假定，委托人与代理人都是风险中立的。代理人的努力成本函数为C?a?。
求解：
w?s?by，（1）假定委托人与代理人之间签订一个线性合约：代理人会采取什么行动？代理人的行动“a”会如何随b而发生变化？代理人的行动会如何随k而发生变动？
（2）现在假定代理人的效用函数形式为
u?x???e?rx
1又假定代理人的努力成本函数为C?a??a2。
2证明：最优线性契约中的激励系数b*必满足：
k2 b?2k?r?2?解：（1）代理人的期望净收入为：
s?bEy?C?a??s?bka?C?a?
相应的净收入最大化问题为：
maxs?bka?C?a?
as.. ts?bka?C?a??0
不考虑约束，从无约束条件最大化的一阶条件得到：
C??a??bk
记满足该条件的a?a*，如果s?bka*?C?a*??0，代理人会将工作努力保持在边际成本等于bk的水平上。由于（一般情况下）C??a??0，因此，随着b、k的增加，a也会增加。
若s?bka*?C?a*??0的条件不满足，代理人将选择a?0，且b、k的变化均不影响努力水平。
（2）令x?w?s?by?s?bka?b?，则：
?rb2?2?Eu?w??exp?s?bka??
2??985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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因此对于满足代理人参与约束的b、s，代理人的个人效用最大化问题为：
rb2?212maxs?bka??a b22解得a?bk。此时，代理人的效用水平为s?委托人的问题是：
b22k?r?2?。 ?2max?1?b?k2b?s
b，sb22s?t?s??k?r?2??0
2构造拉格朗日函数，并解得：
b?k2?k2?r?2?
这就是最优线性激励中的激励系数b*满足的条件。
6．代理人对委托人的贡献为
y?a?? ?～N?0,?2?
??代理人的努力成本函数为
C?a??ma2?m?0?
问：
（1）若委托人与代理人签订一个线性合约w?s?by。代理人会采取什么样的“a”？“a”会怎样随b而发生变动？“a”会如何随m而变动？
（2）现在假定，代理人是风险规避型的，其效用函数为u?x???e?rx。 证明：在最优线性契约中，激励系数b*必满足：
b??1 21?2mr?解：（1）代理人的期望净收益为E?w?C?a???s?ba?ma2，所以代理人的期望净收益最大化问题为：
maxs?ba?ma2a
b。下面分情况讨论： 2ms?t?s?ba?ma?02不考虑约束，从无条件最大化的一阶条件中得到a?bb2①如果s?，并且a随着b的增加而增加，随着m的增加?0，代理人将选择a?2m4m而减少。
b2②如果s??0，代理人将选择a?0，并且a的取值不受b、m变化的影响。
4m985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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（2）给定b、s满足个人参与约束，代理人的效用最大化问题为：
rb2?2 maxs?ba?ma?a22bb2rb2?2从一阶条件中解得a?，此时代理人的效用为s?。 ?2m4m2委托人的利润最大化问题为：
bb2max??sb，s2m2m 222brb?s?t?s???04m2构造拉格朗日函数，并解得：
b??1
1?2mr?2这就是最优线性激励中的激励系数b*满足的条件。
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