广东省2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学（解析版）

所以HG?21a．…………………………………………………………………………9分 a，PG?22在△PDC中，PD?2a，DC?2a，PC?22a，

PD2?PC2?DC23?． 所以cos?DPC?2PD?PC4在△PDG中，PD?2a，PG?23a，cos?DPC?， 242所以DG?PD?PG?2PD?PG?cos?DPG?a，即DG?a．…………………………10分

222在△DHG中，DH?71a，HG?a，DG?a， 22DH2?HG2?DG2所以cos?DHG?………………………………………………………………11分

2DH?HG?27． 7所以二面角D?PB?C的余弦值为20．（本小题满分12分）

27．…………………………………………………………12分 7在平面直角坐标系中，动点M分别与两个定点A(?2,0),B(2,0)的连线的斜率之积为?(1)求动点M的轨迹C的方程；

(2)设过点(?1,0)的直线与轨迹C交于P,Q两点，判断直线x??并说明理由．

20．解：（1）设动点M的坐标为?x,y?，

1 25与以线段PQ为直径的圆的位置关系，2因为kMA?yy(x?2)，…………………………………………………1分 (x??2)，kMB?x?2x?2所以kMAkMB?yy1???．……………………………………………………………………2分 x?2x?22x2y2??1．………………………………………………………………………………………3分 整理得42x2y2??1?x??2或y?0?．………………………………………4分 所以动点M的轨迹C的方程42（2）解法1：过点(?1,0)的直线为x轴时，显然不合题意．……………………………………………5分

所以可设过点(?1,0)的直线方程为x?my?1，

设直线x?my?1与轨迹C的交点坐标为P(x1,y1),Q(x2,y2)，

?x?my?1,?22由?x2y2得(m?2)y?2my?3?0．………………………………………………………6分

?1,???42因为??(?2m)?12(m?2)?0，

22由韦达定理得y1?y2=

2m3yy，=．…………………………………………………7分 ?12m2?2m2?2注意到x1?x2=m(y1?y2)?2??4．

m2?2所以PQ的中点坐标为N?m???2,?．…………………………………………………………8分 22m?2m?2??2?2m12???22因为PQ?1?my1?y2??1?m???2? ??2m?2m?2??????2(1?m2)(4m2?6)．………………………………………………9分 ?2m?2525m2?65?点N到直线x??的距离为d??2．………………………………………10分

2m?22(m2?2)22PQ9m4?20m2?122因为d???0，……………………………………………………………11分 2244(m?2)PQ， 2即d?所以直线x??5与以线段PQ为直径的圆相离．……………………………………………………12分 2?6?x2y2??1交于P??1,?解法2：①当过点??1,0?的直线斜率不存在时，直线方程为x??1，与和???422???6?5Q??1,两点，此时直线x??与以线段PQ为直径的圆相离．…………………………………5分 ??2?2??②当过点??1,0?的直线斜率存在时，设其方程为y?k?x?1?，

设直线y?k?x?1?与轨迹C的交点坐标为P?x1,y1?，Q?x2,y2?，

?y?k?x?1?,?2222由?x2y2得?2k?1?x?4kx??2k?4??0．……………………………………………6分

?1,???42因为??4k?22??4?2k2?1??2k2?4??24k2?16?0，

2k2?44k2由韦达定理得x1?x2??2，x1x2?．…………………………………………………7分

2k2?12k?1注意到y1?y2?k?x1?x2??2k?2k．

2k2?1??2k2k?,2?．…………………………………………………………8分 所以PQ的中点坐标为N?2?2k?12k?1???4k2?24?2k2?4??22? 因为PQ?1?kx1?x2??1?k???2??22k?12k?1???????2?1?k2??6k2?4?2k?12．………………………………………………9分

52k26k2?55?点N到直线x??的距离为d??2．……………………………………10分

22k?12?2k2?1?2因为d?2PQ42?12k4?20k2?94?2k?1?22?0，……………………………………………………………11分

即d?PQ， 2所以直线x??5与以线段PQ为直径的圆相离．……………………………………………………12分 2k(k?R)． 2x21．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?lnx?（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）若函数f(x)有两个零点x1,x2，求k的取值范围，并证明x1?x2?2?2k．

21．（1）解：因为f(x)?lnx?k，函数f(x)的定义域为(0,??)， x212kx2?2k,x?0．………………………………………………………………1分 所以f?(x)??3?xxx3当k≥0时，f?(x)?0，

所以函数f(x)在(0,??)上单调递增．…………………………………………………………………2分

当k?0时，由f?(x)?0，得x??2k（负根舍去），