当x?(0,?2k)时，f?(x)?0，当x?(?2k,??)时，f?(x)?0，
?2k)上单调递减；在(?2k,??)上单调递增．……………………………3分
?2k)上单
所以函数f?x?在(0, 综上所述，当k≥0时，函数f(x)在(0,??)上单调递增；当k?0时，函数f(x)在(0,调递减，在(?2k,??)上单调递增．………………………………………………………………………4分 （2）先求k的取值范围：
【方法1】由（1）知，当k≥0时，f(x)在(0,??)上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件．
………………………………………………………………………5分 当k?0时，函数f(x)在(0,?2k)上单调递减，在(?2k,??)上单调递增，
1， 2所以f(x)min?f??2k?ln?2k??要使函数f(x)有两个零点，首先f(x)min?ln?2k?11?0，解得??k?0．………………6分
2e2因为?2k??2k?1，且f(1)??k?0，
下面证明f(?2k)?ln(?2k)?1?0． 4k设g(k)?ln(?2k)?1114k?1，则g?(k)??2?． 24kk4k4k2??11114k?1因为k??，所以g?(k)??2??e2?0． 22ek4k4k4k1?所以g(k)在??,0?上单调递增， ??2e?所以f??2k??g(k)?g??1e?1??ln??0． ?e2?2e?【若考生书写为：因为当x?0时，f?x????，且f?1???k?0．此处不扣分】
?1?所以k的取值范围是??,0?．…………………………………………………………………………7分 ??2e?【方法2】由f(x)?lnx?k?0，得到k?x2lnx．………………………………………………5分 2x设g?x??x2lnx，则g??x??x?2lnx?1?．
1212当0?x?e?时，g??x??0，当x?e?时，g??x??0，
1???1???所以函数g?x?在?0,e2?上单调递减，在?e2,???上单调递增．
????所以由??g?x???min??1?1?g?e2???．…………………………………………………………………6分
2e??因为x?0时，g?x??0，且g?1??0，
?要使函数f(x)有两个零点，必有?1?k?0． 2e1?所以k的取值范围是??,0?．…………………………………………………………………………7分 ??2e?再证明x1?x2?2?2k：
【方法1】因为x1，x2是函数f(x)的两个零点，不妨设x1?x2，令x2?tx1，则t?1．
k?lnx??1x2?0,kk?1所以?即lnx2?lnx1?2?2．……………………………………………………8分
x2x1?lnx?k?0,2?x22?所以lnt?kkk?1?12?，即，x??1??k?0，t?1． 1?2?222tx1x1lnt?t2e?要证x1?x2?2?2k，即证(x1?x2)2??8k．………………………………………………………9分
即证x12(1?t)2??8k，即证
k?1?2?1(1?t)??8k． ?2?lnt?t?因为?1?1??k?0，所以即证?2?1?(1?t)2??8lnt， 2e?t??1??1?(1?t)2?0?t?1?．………………………………………………………………10分 2?t?或证8lnt??设h(t)?8lnt???1?2?1?(1?t)，t?1． 2?t?2即h(t)?8lnt?t?2t?21?，t?1． tt2822?2(t2?1)2?2t(t?1)2?0． 所以h?(t)??2t?2?2?3?3tttt【用其他方法判断h??t??0均可，如令分子为u?t?，通过多次求导判断】
所以h(t)在(1,??)上单调递减，………………………………………………………………………11分
所以h(t)?8lnt???1?2?1(1?t)?h(1)?0, t?1． ?2?t?所以x1?x2?2?2k．…………………………………………………………………………………12分
【方法2】因为x1，x2是函数f(x)有两个零点，不妨设x1?x2，令x2?tx1，则t?1．
k?lnx??1x2?0,kk?1所以?即lnx2?lnx1?2?2．……………………………………………………8分
x2x1?lnx?k?0,2?x22?kkk?1?12?，即x??11?2?，??k?0，t?1． 222tx1x1lnt?t2e?所以lnt?要证x1?x2?2?2k，需证x1x2??2k．………………………………………………………9分
2即证tx1??2k，即证t?k?1??1????2k．
lnt?t2?因为?11?k?0，所以即证t??2lnt?t?1?．…………………………………………………10分 2et1t设h(t)?2lnt?t?，
?t?1??0，t?1． 21则h?(t)??1?2??ttt2所以h(t)在?1,???上单调递减，………………………………………………………………………11分
2所以h(t)?2lnt?t?1?h?1??0． t所以x1?x2?2?2k．…………………………………………………………………………………12分
【方法3】因为x1，x2是函数f(x)有两个零点，不妨设x1?x2，令x2?tx1，则t?1．
k?lnx??1x2?0,kk?1所以?即lnx1?lnx2?2?2．………………………………………………………8分
x1x2?lnx?k?0.2?x22?要证x1?x2?2?2k，需证x1x2??2k．………………………………………………………9分
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