x1n
3．(2011·银川模拟)在(－)的展开式中，只有第5项的二项式
23
x系数最大，则展开式中常数项是( )
A．－7 B．7 C．－28 D．28 [答案] B
1rx8－r
[解析] 由条件知n＝8，∴Tr＋1＝C8()·(－)r
23
x＝(－1)r·2r－8·Crx8·
8－
4r
3 令8－4r＝0得，r＝6，
3
6
∴展开式的常数项为(－1)6·26－8·C8＝7.
4．(2011·河北石家庄一模)多项式x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2
＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为( )
A．10 C．－9 [答案] B
12[解析] x10＝[1＋(x－1)]10＝1＋C10(x－1)＋C10(x－1)2＋…＋C1010
B．45 D．－45
(x－1)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10对任意实数x都成
2
立，∴a8＝C8＝C1010＝45.
3
5．在(1＋x)3＋(1＋x)3＋(1＋x)3的展开式中，x的系数为________(用数字作答)．
[答案] 7
133
[解析] C3＋C23＋C3＝2－1＝7.
6．(2011·广东六校联考)若(x－a)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，且a5＝56，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝________.
[答案] 256
[解析] (x－a)8的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Crx8－r·(－a)r＝(－1)rCrar·x8－r， 8·8·令8－r＝5，则r＝3，
33于是a5＝(－1)3C8·a＝56，解得a＝－1，
即(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8， 令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28＝256.
1n7．(2010·广西柳州铁一中高考冲刺)若(2x－3)的展开式中含有
x
2
常数项，求最小的正整数n.
[答案] 5 [解析]
1rr2n－r2n－5r
Tr＋1＝Cn(2x)·(－3)＝(－1)r·2n－r·Cr，令nx
x
2n－5r
2n
＝0，得r＝，
5
∵r∈Z，故最小的正整数n＝5. 1
8．已知(＋2x)n.
2
(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
45
[解析] (1)∵Cn＋C6n＝2Cn，
∴n2－21n＋98＝0，∴n＝7或n＝14.
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5， 14335∴T4的系数＝C3(， 7)2＝22
4134T5的系数＝C7()2＝70.
2
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8. 177
∴T8的系数＝C7(14)2＝3432. 2
12(2)由C0n＋Cn＋Cn＝79，可得n＝12，设Tk＋1项的系数最大．
111212
∵(＋2x)＝()(1＋4x)12， 22
kk－1k－1，4≥Ck?C12124∴?kkk＋1k＋1
4.?C124≥C12
∴9.4 ∴展开式中系数最大的项为T11. 1101010 T11＝()12C10124x＝16896x. 2 1．在(3x－2x)11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，则?1xαdx＝( ) ?0 316812A. B. C. D. 6795 [答案] B [解析] 因为展开式一共12项， 3r11－r其通项公式为Tr＋1＝Cr·(3x)·(－2x) 11 33－r＝Cr311－r·(－2)r·x6 ，r＝0,1，…，11. 11· 其中只有第4项和第10项是有理项， 21661616故概率α＝＝，∴?x dx＝x |0＝. 12677? 0 17 ?1?5 2．若?x2＋ax?6的二项展开式中，x3的系数为，则二项式系数最2?? 大的项为________． 5 [答案] x3 2 26－r?1?r－r12－3r， [解析] ∵Tr＋1＝Cr(x)?ax?＝Cr66ax ?? 5－3＝，解得a＝2. 令12－3r＝3，得r＝3，∴C3a6 2532313 故二项式系数最大的项为T4＝C6(x)()＝x3. 2x2 3n 3．(2011·上海十三校第二次联考)在二项式(x＋x)的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝________. [答案] 3 [解析] 由题意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，∴2n＝8，∴n＝3. 4．(2010·山东日照市模考)设a为函数y＝sinx＋3cosx(x∈R)的最大值，则二项式(ax－ [答案] －192 ?π? [解析] y＝sinx＋3cosx＝2sin?x＋3?的最大值为a＝2，二项式 ? ? ?1?1?r6－r?r6 －?2x－?6的展开式中第r＋1项Tr＋1＝Cr??(2x)·＝(－1)·26 x?x??? r3－r－r·C6x，令 1 3－r＝2，则r＝1，∴x2项的系数为(－1)1×25×C6＝－192. 16 )的展开式中含x2项的系数是________． x 5．(2011·安徽宣城模拟)在(x－2)5(2＋y)4的展开式中x3y2的系数为________． [答案] 480 5－r[解析] (x－2)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr(－2)r， 5x2令5－r＝3得r＝2，得x3的系数C5(－2)2＝40； 4－rr(2＋y)4的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cry， 4(2) 2 令r＝2得y2的系数C4(2)2＝12， 于是展开式中x3y2的系数为40×12＝480.
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