大学物理学习题答案 习题一答案 习题一 1.1 简要回答下列问题： (1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相等？ (2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？ (3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什么？ (4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一定保持不变？ ?vv(3)?v(1)?8?0????4m/s2?t22 dvd(4?4t)a????4(m/s2)dtdt (3) 3s末的瞬时加速度为：。 a0aave?1.3 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为过?时间，加速度均匀增加b。求经过t时间后，质点的速度和位移。 解: 由题意知，加速度和时间的关系为 ，质点出发后，每经ba?a0?t?利用dvdv?0?r?r?v?vdt(5) 和有区别吗？和有区别吗？和dv?0dt各代表什么运动？ (6) 设质点的运动方程为：?adt，并取积分得 vtb??dv?a?t?dvv?at?bt2?0??0??00?2? ，x?0再利用dx?vdt，并取积分[设t?0时0]得 12b3a0t?tx0026? ，r(0)?4j的位置以初速度v(0)?4i开始运动，1.4 一质点从位矢为a?(3t)i?2j.所有的长度以米计，其加速度与时间的关系为时间以秒xt x?x?t?，y?y?t?，在计算质点的速度?dx??vdt?x?22r?x?y和加速度时，有人先求出，然后根据 d2rdra?2v?dt dt 及 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 ?d2x??d2y??dx??dy?a??2???2?v???????dt??dt? ?dt??dt? 及 2222计.求： （1）经过多长时间质点到达x轴； （2）到达x轴时的位置。 3??v(t)?v(0)??a(t)dt??4?t2?i?(2t)j02??解： t你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？ (7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？ (8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此其法向加速度也一定为零.”这种说法正确吗？ (9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？ t1??r(t)?r(0)??v?t?dt??4t?t3?i??4?t2?j02?? 2（1） 当4?t?0，即t?2s时，到达x轴。 (10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，、、a三者的大小 即质点到达轴时的位置为。 是否随时间改变？ (11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否2落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？ 1.5 一质点沿x轴运动，其加速度与坐标的关系为a???x，式中?为 xv2常数，设t?0时刻的质点坐标为0、速度为0，求质点的速度与坐标x,txx?4t?2t1.2 一质点沿轴运动，坐标与时间的变化关系为，式中的关系。 分别以m、s为单位，试计算：(1)在最初2s内的位移、平均速度和2s末2的瞬时速度；(2)1s末到3s末的平均加速度；(3)3s末的瞬时加速度。 解： (1) 最初anat（2） t?2s时到达x轴的位矢为 ：r(2)?12i x?12m,y?0x2s内的位移为为： ?x?x(2)?x(0)?0?0?0(m/s) ?x0vave???0(m/s)?t2最初2s内的平均速度为： dxv(t)??4?4tt时刻的瞬时速度为：dt 2s末的瞬时速度为：v(2)?4?4?2??4m/s (2) dx???2x2解：按题意 dt d2xdvdvdxdv2??x?2???vdtdxdtdx， dt由此有 2即 vdv???xdx， 两边取积分 得 12?vv0vdv???2?xdxx0x， 2222211v2?1v???x??x002221s末到3s
末的平均加速度为：?v0?2A??x??022???v???A?x由此给出 ， 22
1
????2r(t)?i?4tj?tk，t分别以m、1.6 一质点的运动方程为式中r，s为单位。试求： (1) 质点的速度与加速度；(2) 质点的轨迹方程。 v?v?解：(1) 速度和加速度分别为： ??dva??8jdt?? ??r(t)?xi?yj?zk，与所给条件比较可知 x?1， (2) 令y?4t，z?t 所以轨迹方程为：2dr?(8t)j?kdt， dr??v0dt按题意(负号表示绳随时间t缩短)，所以船速为 x2?h2v??v0x xx负号表明船速与轴正向反向，船速与有关，说明船作变速运动。将上式对时间求导，可得船的加速度为 2h2v0dva???3dtx dxrdr?dtxdt x?1,y?4z2。 2?1v?3t?t(ms)，求质点在1.7 已知质点作直线运动，其速度为0~4s时间内的路程。 解: 在求解本题中要注意：在0~4s时间内，速度有时大于零，有时小4负号表明船的加速度与x轴正方向相反，与船速方向相同，加速度与x有关，说明船作变加速运动。 1.9 一质点沿半径为10cm的圆周运动，其角坐标?(以弧度rad计)可用下式表示 其中t的单位是秒(s)试问：(1)在t?2s时，它的法向加速度和切向加速度各是多少？ (2)当?等于多少时其总加速度与半径成45角 ？ 于零，因而运动出现往返。如果计算积分04?vdt??2?4t3 ，则求出的是位移而不是232v?3t?t?0，。令解得t?3s。解：(1) 利用 ??2?4t，??d?/dt?12t，??d?/dt?24t， v?vt?3由此可知：t?3s时，v?0，； s时，v?0；而t?3s路程。求路程应当计算积分0?vdt时，v?0， 4v??v3得到法向加速度和切向加速度的表达式 。因而质点在0~4s时间内的路程为 434 an?r?2?144rt4，at?r??24rt s??vdt??vdt??(?v)dt???3t?t2?dt???3t?t2?dt00303在t?2s时，法向加速度和切向加速度为： an?144rt4?144?0.1?24?230.4(m?s?2)at?24rt?24?0.1?2?4.8(m?s?2) ， 34。 1.8 在离船的高度为h的岸边，一人以恒定的速率的水平距离为x时，船的速度和加速度。 a?at1??31?1?3，即??t2?t3???t2?t3??6(m)(2) 要使总加速度与半径成45角，必须有n3?0?23?33144?2rt4?24rt 33解得 t?1/6，此时 ??2?4t?2.67rad v010km/h15km/h收绳，求当船头与岸1.10 甲乙两船，甲以的速度向东行驶，乙以的速度向南行驶。问坐在乙船上的人看来，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何？ 解: 建立坐标系如题1.8图所示，船沿X轴方向作直线运动，欲求速度，应先建立运动方程，由图题1.8，可得出 O X r h ??j解：以地球为参照系，设i、分别代表正东和正北方向，则甲乙两船速度分别为 ????v1?10ikm/h，v2??15jkm/h ?????v?v1?v2?(10i?15j)km/h ?v?102?152?18.1km/h根据伽利略变换，当以乙船为参照物时，甲船速度为 x Y 2v0 ，习题1.8图 2215?56.31?10 ?即在乙船上看，甲船速度为18.1km/h，方向为东偏北56.31 ??arctg两边求微分，则有 x?r?h 同理，在甲船上看，乙船速度为18.1km/h，方向为西偏南56.31。 1.11 有一水平飞行的飞机，速率为0，在飞机上安置一门大炮，炮弹以水平速度v向前射击。略去空气阻力， (1) 以地球为参照系，求炮弹的轨迹方程； (2) 以飞机为参照系，求炮弹的轨迹方程； 2
?v2x船速为
dxdr?2rdtdt (3) 以炮弹为参照系，飞机的轨迹如何？ 解：(1) 以地球为参照系时，炮弹的初速度为消去时间参数t，得到轨迹方程为： v1?v?v0习题二答案 ，而x?v1t，习题二 2.1 简要回答下列问题： (1) 有人说：牛顿第一定律只是牛顿第二定律在合外力等于零情况下的一个特例，因而它是多余的.你的看法如何？ (2) 物体的运动方向与合外力方向是否一定相同？ (3) 物体受到了几个力的作用，是否一定产生加速度？ (4) 物体运动的速率不变，所受合外力是否一定为零？ (5) 物体速度很大，所受到的合外力是否也很大？ (6) 为什么重力势能有正负，弹性势能只有正值，而引力势能只有负值？ (7) 合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物体动能的增量？ (8)质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理与动能定理是否与惯性系有关？请举例说明. (9)判断下列说法是否正确，并说明理由： (a)不受外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒. (b)内力都是保守力的系统，当它所受的合外力为零时，其机械能守恒. (c)只有保守内力作用而没有外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒. (10) 在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹性碰撞中，又有哪些量保持不变？ (11) 放焰火时，一朵五彩缤纷的焰火质心运动轨迹如何？为什么在空中焰火总是以球形逐渐扩大？(忽略空气阻力) 2.2 质量为m质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力y??0.5gt2 同） (2) 以飞机为参照系时，炮弹的初速度为v，同上可得轨迹方程为gx2y??2(v?v0)2（若以竖直向下为y轴正方向，则负号去掉，下 (3) 以炮弹为参照系，只需在(2)的求解过程中用?x代替x，?gx2y??22v y代替gx2y?2y，可得 2v. 1.12如题1.12图，一条船平行于平直的海岸线航行，离岸的距离为D，速率为v，一艘速率为u?v的海上警卫快艇从一港口出去拦截这条船。试证明：如果快艇在尽可能最迟的时刻出发，那么快艇出发时这条船到海岸Dv2?u2x?u线的垂线与港口的距离为；快艇截住这条船所需的时Dvt?uv2?u2。 间为 Y D u ? X x 港口 习题1.12图 证明：在如图所示的坐标系中，船与快艇的运动方程分别为 F??kv（k为常数）作用，t?0时质点的速度为v0，证明： （1）t时刻的速度为vv?v0e?ktm； （2）由0到t的时间内经过的距离为（3）停止运动前经过的距离为 证明： x?(mv0k)?[1?e?ktm]。 ； mv0kma?m(1) 由 得 v?x1?vt?x2?x?ucos??t??y?usin??ty?D ?1 和 ?2 拦截条件为： dvdvk?F??kv??dtdtm，积分 分离变量得 v?x1?x2cos??t?vt?x?u????t ?y1?y2 即 ?D?usin所以 D?v?ucos??usin?， x取最大值的条件为：dx/d??0，由此得到cos??u/v，相应x?2sin??1?(u/v)地。 因此x的最大值为 vktkdvln???v0v???0mdt ，v0mt，v?v0e?ktm tmvx??vdt??v0e?kt/mdt?0(1?e?kt/m)0k(2) (3) 质点停止运动时速度为零，即t??，故有?mvmx???v0e?k/tdt?00k。 2.3一质量为10 kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t?0时，物体的速度为零，物体在力F?3?4t(N)(t以s为单位)的作用下运动了3s，求它的速度和加速度. 解. 根据质点动量定理, 33x取最大值时对应的出发时间最迟。快艇截住这条船所需的时间为 Dv2?u2x?u ?Fdt?mv?mv030, ??3?4t?dt?mv0 t?
DDv?usin?uv2?u2。 22??3t?2t??03?3?2?3v???2.7(ms?1)m10 3
根据牛顿第二定律，Fa? F?m?ma ?3?4t?t?3m?3?4?3?1.510(m/s2) 2.4 一颗子弹由枪口射出时速率为v0-1 ms，当子弹在枪筒内被加速时，它2121 同理， 这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即?v??v,I?I所受的合力为N（a,b为常数），其中t以秒为单位： （1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间； （2）求子弹所受的冲量； （3）求子弹的质量。 解： (1)由题意，子弹到枪口时，有FF?(a?bt)I??(10?2t)dt?10t?t20t?(a?bt)?0, 得t?ab 令10t?t?200，解得t?10s。 2.7 一小船质量为100kg，船头到船尾共长3.6m。现有一质量为50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。 2 t1aI??(a?bt)dt?at?bt2t?02b代入，(2)子弹所受的冲量，将S船S人2 a 习题2.7图 I?2b 得MV?mv?0L Iam??v02bv0 (3)由动量定理可求得子弹的质量 2.5 一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置矢量为2解：由动量守恒 船船人人 又 S船?t0?V0t船dtt， ???r?acos?ti?bsin?tj，求质点的动量及t?0到t??2?时s人??v人dt??， 如图，船的长度 所M船m人 0V船dt?M船m人S船间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量。 解：质点的动量为 L?S船?s人p?mv?mr?m???asin?ti?bcos?tj?将t以 ，动量的增量，亦即质点所受外力的冲量为 ?0和t??2?分别代入上式，得 p1?m?bjp2??m?ai S船? L3.6??1.2mM船1001?1?50m人S船?1.2m I?p2?p1??m?(ai?bj) F?(10?2t)iN即船头相对岸边移动 2.8 质量2.6 作用在质量为10kg的物体上的力为，式中t的单位是s。 （1）求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量； （2）为了使这力的冲量为200Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原?1?6jm?s来静止的物体和一个具有初速度的物体，回答这两个问m?2kg的质点,从静止出发沿X轴作直线运动，受力F?(12t)i(N)，试求开始3s内该力作的功。 A??Fxdx??(12t)dx??(12tvx)dtLL03解 而 题。 解：(1)若物体原来静止，则 vx?vx0??axdt??0t?36?[A???12t?3t?dt??36tdt??t4??729(J)00?4?0kg?m?s?1]，沿x轴正向， 22.9 一地下蓄水池，面积为s?50m，水深度为1.5m，假定水的上表?p1?1?1?v1??5.6i[m?s],I1??p1?56i[kg?m?s]面低于地面的高度是5.0m，问欲将这池水全部抽到地面，需作功多少? m O v0??6jm?s?1若物体原来具有初速度，则 ht 0 y p0??mv0,p(t)??mv0??Fdt 00?p1??Fdt??(10?2t)idt?56it4所以 323Fx12tdt??tdt?3t20m20 t330于是
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