压轴题专题
东城区
28．给出如下定义：对于⊙O 的弦 MN 和⊙O 外一点 P（M，O，N 三点不共线，且 P，O 在直线 MN 的异侧），
当∠MPN＋∠MON=180°时，则称点 P 是线段 MN 关于点 O
的关联点．图 1 是点 P 为线段 MN 关于点 O 的关联点的示意图.
在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径为 1.
? 2 2 ? ? 2 2 ? M（1）如图 2， ?? , ??N.在A（1，0），B（1，1），, ? ，C2,0?? ?? ??
2 ?
? 2 2 ? ? 2
三点中, 是线段 MN 关于点 O 的关联点的是
；
? 3 ,1 ?
? ?? ，点 D 是线段 MN 关于点 O 的关联点. （2）如图 3， M（0，1），N ??
? 2 2 ?
①∠MDN 的大小为
②在第一象限内有一点 E
°；
? 3 m , m ?，点 E 是线段 MN 关于点 O 的关联点，
判断△MNE 的形状，并直接写出点 E 的坐标；
③点 F 在直线 y ? ?
33
x ? 2 上，当∠MFN≥∠MDN 时，求点 F 的横坐标 x 的取值范围．
F
1
28. 解：（1）C；
--------------2 分
（2）① 60°；
② △MNE 是等边三角形，点 E 的坐标为 31， ；--------------5 分 3 3，0. ，交 x 轴于点 T2x ? 2 交 y 轴于点（0，2） ③ 直线 y ? ?
3 ∴ OK ? 2 ， OT ? 2 3 .
? ?
?
?
∴ ?OKT ? 60? .
作 OG⊥T 于点 G,连接 MG.
∵ M ?0，1? ， ∴OM=1.
∴M 为 O 中点 .
∴ MG =M=OM=1.
∴∠MGO =∠MOG=30°，OG= 3 .
? 3 3 ? .∴G?， ? ?
?
? 2 2 ?
∵ ?MON ? 120? ,
∴ ?GON ? 90? .
又 OG ? 3 ， ON ? 1 ，
∴ ?OGN ? 30? .
∴ ?MGN ? 60? .
∴G 是线段 MN 关于点 O 的关联点.
3
经验证，点 E 31， 在直线 y ? ? x ? 2 上.
3
? ?
结合图象可知， 当点 F 在线段 GE 上时 ，符合题意.
∵ x ≤x ≤x ，
G
F
E
∴
西城区
3
2
≤x ≤ 3 .--------------8 分
F
28．对于平面内的⊙ C 和⊙ C 外一点 Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙ C 存在公共点，记为点
AQ?BQ
A ， B ，设 k ? ，则称点 A （或点 B ）是⊙ C 的“ k 相关依附点”，特别地，当点 A 和点
CQ
B 重合时，规定 AQ ? BQ ， k ?
2 AQ 2BQ
（或 ）． CQ CQ
2
已知在平面直角坐标系 xOy 中， Q(?1,0) ， C(1,0) ，⊙ C 的半径为 r ．
（1）如图，当 r ? 2 时，
①若 A (0,1) 是⊙ C 的“ k 相关依附点”，则 k 的值为__________．
1
② A (1? 2,0) 是否为⊙ C 的“ 2 相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）．
2
（2）若⊙ C 上存在“ k 相关依附点”点 M ，
①当 r ? 1，直线 QM 与⊙ C 相切时，求 k 的值． ②当 k ? 3 时，求 r 的取值范围．
（3）若存在 r 的值使得直线 y ? ? 3x ? b 与⊙ C 有公共点，且公共点时⊙ C 的“ 3 相关依附点”，直
接写出 b 的取值范围．
y
A1 Q
O
C
y
A2
x
Q
O
C
x
图1
备用图
【解析】（1）① 2 ．②是．
（2）①如图，当 r ? 1时，不妨设直线 QM 与⊙ C 相切的切点 M 在 x 轴上方（切点 M 在 x 轴下方时同 理），
连接 CM ，则 QM ? CM ，
y
M
Q
O
C
2
x
∵ Q(?1,0) ， C(1,0) ， r ? 1，
∴ CQ ? 2 ， CM ? 1 ，
3
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