命题3： 既有左逆又有右逆当且仅当 是一一映射。并且此时 的左逆与右逆是唯一确定且相等的。 证明：利用命题2证明第一条，因为 是一一映射，并不需要选择公理。 欲证第二条，首先证明 的所有左逆相等，所有右逆相等。 设 与
是 的右逆，有
，即
同理可证所有左逆彼此相等。 接下来证明左逆等于右逆。
设 与 分别是 的左逆与右逆，那么
。这说明右逆同时也是左逆，因
此右逆等于左逆。
如果 是一一映射时，就把 的左逆或右逆称为 的逆。 部分习题解答：
，那么因为 同时有左逆，取 的左逆 ，有 。即所有右逆彼此相等。
2 例举一个函数 映射。 解答：设
使得 对任意 ，但是 不是线性
，这个函数满足题设条件但不是线性函数。
4 设 是向量空间 到数域 的线性函数，证明如果 。
，则
证明：设 ，因为 ，所以
（这两个子空间的和是直和）。因
，
是有限维的。
故
11 证明如果 设
上存在一个线性映射
，因此
且它的值域与零空间都是有限维的，那么
证明：因为书上证明值域-零度定理时是以 是有限维空间为基础，所以直接用这个定理不妥。
的值域维数为 r，零空间维数为 s，我们可以取任意维数的子空间，比如，r+s+1 维的子空间，将
限制在这个子空间中，然后利用值域-零度定理，可断定这个子空间的像的维数大于 r，已经超过了整个定义域的像的维数了。
16 设 和 是有限维向量空间，并且
，证明
证明：因为 当且仅当
，考虑
，故，有
。设
22 设 是有限维向量空间且
可逆当且仅当
与
。证明 可逆当且仅当
。因为
与 都可逆。
证明：必要性，
，所以
5
与 都可
逆。 充分性，当
、
都可逆时，
就是
的逆。
23 设 是有限维向量空间且
或
，证明 那么
与
当且仅当 都可逆。则
当且仅当
，
证明：根据上题，如果 当且仅当
。
24 设 是有限维向量空间且 。
，证明 当且仅当对任何线性映射 ，有
证明： 如果如果对任何线性算子
则显然 有 使得 。
。 ，那么在
中任取非零向量 ，取
。则
。也就是说任意非零向量 ，存在一
成为
的基底，定义线性映射 个数 使得
下面证明任意两个方向上所对应的 a 都相等。 设 此 因此
。
第四章 多项式 为非重点章节，并且内容未超出高中数学知识，故略过。
（第五章）
注记部分：
1 不同特征值对应的特征向量线性无关的证明 在第一章注记中已经说明，如果对每个
，那么子空间
子空间中分别选取线性无关的向量，它们放在一起也是线性无关的。 这里，两个不同特征值所对应的特征子空间的交集显然是{0}，这是因为 同的，不可能存在一个非零向量经过 接下来就是仿此用数学归纳法证明
是直和，其中的任何一个非零向量可唯一分解为
，经过
用直和的性质证明这是 2 不变子空间的一些性质
表示成
变换之后变成
线性组合的唯一方式，从而不可能出现在
，然后中。
的变换之后既是原来的
在这两个子空间中的作用是不
倍。 。因为
，都有
的和是直和，从而在各个
，矛盾。
，如果
，即
，则这两个向量线性无关，考虑
，因
倍又是原来的
6
以下几个命题是比较显然的： 命题1：设 空间。 命题2：设
是
和
的不变子空间，那么
也是
、
和
的不变子空间。
是
的两个不变子空间，那么它们的和
、它们的交
也是
的不变子
推论3：设 是 的不变子空间， 是数域 上的多项式，那么 也是 的不变子空间。
在分析线性变换的过程中，非平凡的不变子空间是很珍贵的，通过这几个命题，我们可以用已有的珍贵的非平凡不变子空间再构造出更多的非平凡不变子空间。比如，如果 是非平凡的不变子空间。从而 从而也是
、
不可逆，那么
等等都是
、
都
的不变子空间，
的不变子空间。（尽管这样做也可能无法得到新的非平凡的不变子空间）
3 “复数空间上线性变换都可表示成上三角矩阵”的证明 本章对这个定理的证明中，在假设结论对所有小于 候，先将 且维数小于
维的空间都成立并证明结论对
，这是
也成立的时的不变子空间，
已知的一个一维特征子空间搁置一旁，转而考虑
，但是不一定只比
小一维，它的维数取决于
呢？
的维数。这样就给
分析的思路增加了一些难度和不确定性。当然，幸运的是最后还是顺利地完成了证明，让人觉得这个证明太巧妙了，怎么最初就能想到要考察 证明：假设在维数小于 阵，那么在 再取子空间 们将 么
但是仿照第九章证明实数空间类似性质的定理的证明方法，可以做出一个更朴实更自然的证明。
的空间上的所有线性变换都可以找到一组基底使得其对应的矩阵是上三角
，因为至少有一个特征值，也就可以找到一个一维的特征子空间 。这样
只比
少了一维 ，但是不一定是
，
中的一个线性变换 使得
的不变子空间。我
分解为
使得线性变换
在基底
下的行为）。
，在子空间 中可以找到一组基底
中取非零向量 ，那
的矩阵是上三角矩阵，在
下依然是上三角矩阵（要看清这一点，只需考察基底的各个元素
在线性变换
4 “奇数维空间上的线性变换必有特征值”的证明
本章的证明方法在本章看来技巧性显得太强了。但其实，如果看到第九章再回过头来看这个定理，是比较显然的。因为不管是实数向量空间还是复数向量空间，线性变换的矩阵都可以是分块上三角矩阵，且对角线上每一块都是1×1或2×2阶的矩阵。那么对于奇数维空间，分块上三角矩阵的对角线上不可能都是2×2阶的矩阵，从而线性变换必然有一维的不变子空间。本章不能直接引用第九章的结论，所以本章的证明其实是利用了第九章的思维方法。现在，我把它写得跟第九章的方法更接近一些，也显得更平易近人一些。 证明：对于一维空间的情形，很显然命题是成立的。假设命题对于维数小于 现证明命题对奇数维空间 题得证，如果 使得
也成立。可以取一个一维或二维的不变子空间
是二维的，那么朝着证明
，然后将
写为
的奇数维空间都成立，。如果
是一维的，那么命
有分块上三角矩阵的方向（也是本命题递归的需要），取
。如果要证明
有分块上三
角矩阵，那么接下来的分析方向是应用递归假设取一组基底使得 阵。但这里因为要尽快证明
特征值存在，我们把
的一个不变子空间。取
7
的矩阵是分块上三角矩
的一个特征向量 优先取过来，那么
就形成了
的基底 ，那么 在
这组基底下的矩阵是如下形式的：
从这个矩阵中可以很容易看出 就是特征值，因为 类似于”上三角矩阵的对角线元素都是特征值”的证明。
将一个三维空间映射成了二维空间。这一点
其实我觉得既然在本章中证明了复数空间线性变换的矩阵可以上三角化，那么实数空间相应的结论也应该放在这一章，这样既显得结构合理，又不至于使某些定理的证明看上去那么奇巧。 部分习题解答：
4 设 证明：设
且 ，证明 ，那么
即
是 ，由
的不变子空间。
，得
。
11 设
证明：只需证明 那么相应地 0。
，证明 的特征值都是 。如果 ，需要证明
和 有相同的特征值。
的特征值。取非零向量 ，因为当
就是
时，
，
有特征值
不可逆，故
，那么我们可以判断 也有特征值0。因为
对应 的特征向量；如果
不可逆，所以
13 设 证明：当 的一个基底
，任何一个维数为 的子空间都是 的不变子空间，证明 。
的维数小于3时，结论显然成立。当维数大于等于3时，设
。考察
维子空间
，因为它是不变子空间，所以
，将 扩充为
，我们每次去掉一个
取
剩下的基底元素张成一个 因此
，故 ，
。仿照第三章习题24中的做法证明 （参见本章第12题）。
15 设
的特征值 ，有 证明：如果有某个 如果 是 因式的乘积，有 逆，从而
是
的某个特征值。而
替换成
又是方程
。
的特征值 满足
， 是
，证明 是 的特征值当且仅当存在某个
， 对应的特征向量为 ，那么
的特征值。
，将
，那么必有某个
使得
的根，从而证得必要性。
分解为一次
不可
的特征值，其特征向量为 ，那么
16 上面一题的结论当 证明：在
时不成立。
，-1是
的特征值，但
本身没有实数特征值。
上的逆时针旋转 的旋转变换
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