1a?x?x3??1?x4在区间[,3]内有4个不同的实数解。
24记g(x)?a?x?x，h(x)??1?x，
3因为h(x)在[,3]上单调递减且h(x)?0，则a?0，
要使g(x)?h(x)在区间[,3]内有4个不同的实数解，则在[,1]上有两不同的实数解，在[1,3]有两不同的实数解。 1）当
1212121?x?1，g(x)??a(x3?x),g?(x)??a(3x2?1),?a?0 2133]单调递减，在[,1]单调递增。 233所以g(x)在[,又h()??1?1211713310323??，g()=a， h()??，g()?a。 161628393912要使g(x)?h(x)在区间[,1]上有两不同的实数解，则：
11?g(）?h()?22?? ?17?a??53。 ?363?g(3）?h()?3?32）当1?x?3时，g(x)?a(x3?x)，令k(x)?g(x)?h(x)?a(x3?x)?x4?1 则k(x)在[1,3]有两不同的实数解，
k?(x)?4x3+3ax2?a，k??(x)?12x2+6ax=6x(2x?a)
由1）知?a?1， 2?3]单调递增，且k?(1)?4+2a?0，所以k(x)在(1,?]单调递减，在(?，a2a2k?(3)?108+26a?0，
32则在[1,3]上存在唯一x0使得k?(x0)?4x0+3ax0?a?0，即k(x)在[1,x0]单调递减，
3]单调递增。 在[x0， 又k(1)=2>0，k(3)?24a?82?0，k(x)在[1,3]有两不同的实数解，只需k(x0)?0，
?k?(x0)?4x03+3ax02?a?0，① 联立?43k(x)?x+ax?ax?1?0，②000?0第 13 页 共 20 页
4x03② 又①知a?2代入化简得x0?2?31?3x04x3又由m(x)?在[1,3]上单调递增， 21?3x所以a?4(2?3)31?3(2?3)2??22 综上所述：?17?a??22 6故填???17?,?22? ?6?【点睛】
本题考查根据函数的零点的个数求参数的取值范围，属于难题。
三、解答题
18．设函数f?x??sinx?cosx，x?R. （Ⅰ）求f?x??f???x?的最小正周期；
33（Ⅱ）求函数g?x??sinx?cosx的最大值. 【答案】（Ⅰ）最小正周期为?；（Ⅱ）最大值为1. 【解析】（Ⅰ）代入化简即可求出答案。 （Ⅱ）利用辅助角公式化简f?x?????2sin?x?????2,2?，利用立方和公式因??4??式分解g?x?并用f?x?将其表示出来，再换元判断复合函数单调性，再求最值。 【详解】 解：（Ⅰ）因为
f?x??f???x???sinx?cosx??sinx?cosx??sin2x?cos2x??cos2x
所以f?x??f???x?的最小正周期为?；
???2sin?x?????2,2? ??4??2（Ⅱ）由题f?x??sinx?cosx?而g?x???sinx?cosx?sinx?sinxcosx?cosx
2??第 14 页 共 20 页
??sinx?cosx?2?1???sinx?cosx???1??
2?????3f2?x??133?f?x?????fx?f?x? ???2222??令f?x??t，则g?x?的的最大值即为函数y??由y???133?2,2? t?t，t????的最大值，2232?2,?1?1,2?t?1?可得函数在?和?上递减，在??1,1?上递增。 ?????22；x?1时，y?1. 2又x??2时，y??所以函数g?x?的最大值为1.
19．在数列?an?中，a1?2，an?1?4an?3n?1，n?N*. （Ⅰ）证明：数列{an?n}是等比数列；
（Ⅱ）记bn?(an?n)n，求数列?bn?的前n项和Sn. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）Sn3n?1?4n?1? ?9an?1?(n?1)?q即可。 【解析】（Ⅰ）利用等差数列的定义证明
an?n（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列{an?n}的通项公式，代入bn?(an?n)n，再利用错位相减求数列?bn?的前n项和。 【详解】
解：（Ⅰ）证明：由an?1?4an?3n?1，可得an?1??n?1??4?an?n?. 又a1?1?1，
所以数列?an?n?是首项为1，公比为4的等比数列；
n?1n?1（Ⅱ）由（Ⅰ）知an?n?4，即an?4?n， n?1所以bn?n?4，
Sn?1?40?2?41?L?n?4n?1，① 4Sn?1?41?2?42?L?n?4n，②
第 15 页 共 20 页
①?②得，?3Sn?1?4?4?L?42n?14n?1?n?4??n?4n，
3n所以Sn3n?1?4n?1? ?9【点睛】
本题考查等比数列的定义，错位相减求数列的前n项和，属于基础题。
20．如图，在四棱锥S?ABCD中，AD?2BC?23，AB?3，SA?SC，AD∥BC，
AD?平面SAB，E是线段AB靠近B的三等分点.
（Ⅰ）求证：CD?平面SCE；
（Ⅱ）若直线SB与平面SCE所成角的正弦值为
1，求SA的长. 3【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
39 2【解析】（Ⅰ）取AD中点F，连接CF，根据题意可求出
EC?2?AE,CD?23?AD,则△AED≌△CED即CD?CE，△ASD≌△CSD即CD?CS，再利用线面垂直的判定定理说明即可。
（Ⅱ）记CEIBF?O，连接SO，说明BFCD即BF?平面SCE，即
BO1?,SB3根据?BOE∽?BAF求出BO?333，再代入，即可求出SB?22SA?SC?SB2?BC2即可。
【详解】
解：（Ⅰ）∵AD∥BC，AD?平面SAB，
?BC?平面SAB，
?BC?AB，
在EBC中，BE?1，BC?3， 由勾股定理可得EC?2，
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