2020届年浙江省金丽衢十二校高三第一次联考数学试题(解析版)

?AE?CE，

取AD中点F，连接CF，则四边形ABCF是矩形，

?CD?DF2?CF2?23?AD， ?△AED≌△CED.

?CD?CE

由AD?平面SAB得AD?SA， 又SA?SC，SD?SD，AD?CD，

?△ASD≌△CSD，

?CD?CS

CEICS?C，CE，CS?平面SCE，

\\CD^平面SCE；

（Ⅱ）记CEIBF?O，连接SO，

QBCPFD，BC?FD， ?四边形FBCD是平行四边形，

?BFCD，

由（Ⅰ）知CD?平面SCE，

?BF?平面SCE，

??OSB即为直线SB与平面SCE所成角. BEPCF，

BE1?， BF23?BO1?，且BF?CD?23， AB23BO13sin?OSB??， ，又?BO?SB32?SB?33， 239. 2?SA?SC?SB2?BC2?【点睛】

本题考查线面垂直的判定，利用线面角求其他量，属于基础题。

21．过抛物线y?2px?p?0?上一点P作抛物线的切线l交x轴于Q，F为焦点，以

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原点O为圆心的圆与直线l相切于点M.

（Ⅰ）当p变化时，求证：

PF为定值. QFS1的S2（Ⅱ）当p变化时，记三角形PFM的面积为S1，三角形OFM的面积为S2，求最小值.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3?22 【解析】（Ⅰ）设P?x0,y0?，写出切线方程，求出Q点坐标，计算出QF，PF即可得出答案。

（Ⅱ）利用原点到直线l的距离公式，求出OM，写出点M的坐标，计算出S1，S2，再求比值的最小值。 【详解】

解：（Ⅰ）设P?x0,y0?，则过P的切线l方程为y0y?p?x?x0?， 于是Q为??x0,0?. 则QF?pp?x0，PF?x0?， 22PF?1. 故QF（Ⅱ）OM???p2x0px0y0?,2 222?，22，于是M的坐标为?p?y0?p?y0p?y0?px0p2x0y01ppx0y0S2???2?22 22p?y04?p2?y0?px0y0?p?2x0p2y0?px0y0py0?x0y01?p??S1???x0????y0?2??? 2?222?2??p?y0?4p?y042S1?p?x0?y0?p?2px0??p?x0??p?2x0??p?2x0?3?3?22?， ?2xppxS2px0y000第 18 页 共 20 页

S12p?“”当且仅当x0?时取，综上的最小值为3?22 S22【点睛】

本题考查抛物线与直线、圆与直线的位置关系，属于中档题。 22．己知函数f?x??x?ae?b，其中a,b?R.

x（Ⅰ）讨论函数f?x?的单调性；

（Ⅱ）设a?1，k?R，若存在b??0,2?，对任意的实数x??0,1?，恒有

f(x)?kex?xex?1成立，求k的最大值.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

4 e【解析】（Ⅰ）求导后讨论a的正负号，即可说明导函数的正负号，即可说明单调性。 （Ⅱ）题干等价于存在b??0,2?，对任意的实数x??0,1?，恒有

?xxx??gx?ex?1e?x?b?1?k?e?x?x?1e?x?b?1，记????????即讨论b的取值，??判断g?x?在x??0,1?的单调性，求出其最小值使k?gmin?x?成立。 【详解】

x解：（Ⅰ）由题，f??x??1?ae

（1）当a?0时，f??x??0恒成立， 故此时函数y?f?x?在?0,???上单调递增； （2）当a?0时，函数在???,lnxx??1??1?ln,??上单调递增，在???上单调递减，

a??a?（Ⅱ）不等式f?x??ke?xe?1

x?k?e?x?x?1e?x?b?1?????

记g?x??e?xx???x?1?e?x?b?1??，x??1,e?，

则g??x???e?xf?x?，

x其中f?x??x?e?b

由（Ⅰ）可知函数f?x?在???,0?上单调递增，在?0,???上单调递减， （1）若0?b?1，则f?0??b?1?0，g??x??0，

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?函数g?x?在区间?0,1?上单调递增，

?k?gmin?x??g?0??b， ?k?b?1

??f?0??0,（2）若?即b?e?1时，g??x??0，

??f?1??0,?函数g?x?在区间?0,1?上单调递减，

?k?gmin?x??g?1???k?4； eb?2， e（3）当1?b?e?1时，此时f?0?f?1??0且f?x?在?0,1?内递减，

?f?x?在区间?0,1?内有唯一零点，记为x0，

?函数g?x?在区间?0,x0?上单调递减，在区间?x0,1?上单调递增

从而k?g?x0?，其中b?e0?x0

x?k?x0?e?x0，

令y?x0?e所以k?1??x0，x0??0,1?，则y??1?e?x0?0

1， e4. e综上，当b?2时，k取到最大值为【点睛】

本题考查函数的单调性与恒成立问题，属于难题。

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