2019-2020学年甘肃省武威第六中学高一下学期第一次学段
考试（期中）数学试题
一、单选题
1．已知?为第三象限角，则下列判断正确的是（ ） A．tan??0 B．sin??cos??0 C．cos??tan??0
D．sin??tan??0
【答案】D
【解析】根据?为第三象限角，先判断tan?，sin?,cos?的符号，再选择. 【详解】
因为?为第三象限角，
所以tan??0，sin??0,cos??0， 所以sin??tan??0. 故选：D 【点睛】
本题主要考查三角函数值的符号，属于基础题.
2．圆心坐标为?1,?1?，半径长为2的圆的标准方程是（） A．?x?1?2??y?1?2?2 B．?x?1?2??y?1?2?2 C．?x?1?2??y?1?2?4 D．?x?1?2??y?1?2?4
【答案】C
【解析】根据圆的标准方程的形式写. 【详解】
圆心为?1,?1?，半径为2的圆的标准方程是?x?1?2??y?1?2?4.
故选C. 【点睛】
本题考查了圆的标准方程，故选C.
3．已知扇形的周长是4cm，扇形面积为1cm2，扇形的圆心角的弧度数是（A．2 B．1
C．
12 D．3
【答案】A
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） ?2r?l?4?【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，根据题意有?1，解得r，l代入公式
rl?1??2求解. 【详解】
设扇形的半径为r，弧长为l，
?2r?l?4?则?1，解得r?1，l?2，
rl?1??2所以?=故选：A 【点睛】
本题主要考查弧度制公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．已知向量a??1,?1?,b???1,2?则2a?b?（ ） A．（ 1，2 ） 【答案】B
【解析】由向量的数乘和向量坐标的加法运算，即可求解. 【详解】
解：已知a??1,?1?,b???1,2?， 则2a??2,?2?，
所以2a?b??2,?2????1,2???1,0?. 故选：B. 【点睛】
本题考查向量的坐标运算，涉及向量的数乘和加法运算，属于基础题. 5．若角?的终边过点P2cos120?，2sin225?，则sin??（ ）
?????????l=2. rB．（ 1，0 ） C．（ -1，-2 ） D．（ -1，2 ）
??A．?3 2B．?1 2C．
2 2D．?2 2【答案】D
【解析】试题分析：由于cos120=-o12，sin225o?sin(180o?45o)??sin45o??，22第 2 页 共 16 页
，?1)， 所以P(?1r?OP?2，所以sin??y2，故选D. ??r2【考点】诱导公式、特殊角的三角函数值及任意角三角函数的定义.
rrrrrrra?1,b?2a?a?b6．已知，且，则向量a与向量b的夹角为（ ）
??A．
? 6B．
? 4C．
? 3D．
2? 3【答案】B
【解析】根据向量垂直数量积为零，代值计算即可. 【详解】
rrrrrr因为a?a?b，故可得a?a?b?0，
????r2rrrr?0， 即a?abcosa,b?rr代值可得cosa,b??2， 2故可得向量a与向量b的夹角为故选：B. 【点睛】
rr?. 4本题考查向量的数量积运算，属基础题.
7．直线y?k?x?2?被圆x2?y2?4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为（ ） A．
? 6B．
? 3C．
?5? 或
66D．
2??或 33【答案】C
【解析】由题意得圆心（0,0）到直线y?k?x?2?的距离为d＝即可求出直线的倾斜角． 【详解】
因为圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径为2，∵直线l：y＝k（x+2）被圆O：x2+y2＝4截得弦长为23，∴圆心到直线的距离d＝4?3＝1，∴圆心到直线的距离d=22kk?12?1，求出k，
π5π?1，∴k＝±3，所以直线的倾斜角为或.
663k2?1第 3 页 共 16 页
2k故选：C． 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系和直线的倾斜角，以及点到直线的距离公式，属于中档题．
??8．将函数y?sin(2x?)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
510A．在区间[C．在区间[【答案】A
【解析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】
由函数图象平移变换的性质可知： 将y?sin?2x?3?5?,]上单调递增 445?3?,]上单调递增 42B．在区间[3?,?]上单调递减 43?,2?]上单调递减 2D．在区间[????5??的图象向右平移
?个单位长度之后的解析式为： 10??????y?sin?2?x?????sin2x.
??10?5?则函数的单调递增区间满足：2k??即k???2?2x?2k???2?k?Z?，
?4?x?k???4?k?Z?，
?3?5??,?. 44??令k?1可得一个单调递增区间为：?函数的单调递减区间满足：2k??即k???2?2x?2k??3??k?Z?， 2?4?x?k??3??k?Z?， 4?5?7??,，本题选择A选项. ?44??令k?1可得一个单调递减区间为：?【点睛】
本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若
?uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvPB?PC?OB?OC?PC?PA?OC?OA?PA?PB?OA?OB?0，则
???????????O为ΔABC的（ ）
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A．内心 【答案】B
B．外心 C．重心 D．垂心
uuuv2uuuv2uuuv2【解析】运用向量的加减运算，以及向量数量积的性质可得OA|?OB|?|OC|，结
合三角形的外心，可得所求. 【详解】
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv若PB?PC?OB?OC?PC?PA?OC?OA?PA?PB?OA?OB?0
?????????????uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv可得CB?OB?OC?AC?OC?OA?BA?OA?OB?0，
?????即为
?uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvOB?OC?OB?OC?OC?OA?OC?OA?OA?OB?OA?OB?0
???????????uuuv2uuuv2uuuv2即有OA|?OB|?|OC|，
uuuvuuuvuuuv则OA?OB?OC，故O为?ABC的外心，故选B.
【点睛】
本题考查向量的加减运算和数量积性质，考查运算能力，解题的关键是掌握外心的性质，属于中档题
10．函数y?tanx?sinx?tanx?sinx在区间（
?3?，）内的图象是( )
22A． B．
C．
D．
【答案】D
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【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|={2tanx,tanx?sinx2sinx,tanx?sinx
分段画出函数图象如D图示， 故选D．
uuuruuur1uuuruuur1uuur11．如图，在?ABC中，AN?NC，P是线段BN上的一点，若AP?mAB?AC，
52则实数m的值为（ ）
A．
3 5B．
2 5C．
14 15D．
9 10【答案】B
ruuuruuuruuu【解析】根据题意，以AB，AC为基底表示出AP即可得到结论.
【详解】
uuuruuuruuuruuur由题意，设NP??NB??AB?AN，
??uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur1??uuurAC，所以，AP?AN?NP?AN??AB?AN??AB??1???AN??AB? 3??uuuruuur1uuur又AP?mAB?AC，
5所以，
1??12?，且m??，解得m???. 355故选：B. 【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算的应用以及平面向量基本定理的应用，属于基础题． 12．关于函数f?x??3sin?2x???????1?x?R?有下述四个结论：①若3?第 6 页 共 16 页
f?x1??f?x2??1，则x1?x2?k??k?Z?；②y?f?x?的图象关于点?称；③函数y?f?x?在?0,?2??,1?对?3??个单位长
????2??上单调递增；④y?f?x?的图象向右平移
12度后所得图象关于y轴对称.其中所有正确结论的编号是（ ） A．①②④ 【答案】D
【解析】①根据对称中心进行分析；②根据对称中心对应的函数值特征进行分析；③根据y?sinx的单调性进行分析；④利用函数图象的平移进行分析，注意诱导公式的运用. 【详解】
①由f?x1??f?x2??1知?x1,1?，?x2,1?是f?x??3sin?2x?中心， 则x1?x2是
B．①②
C．③④
D．②④
??????1图象的两个对称3?T??的整数倍（T是函数f?x?的最小正周期），即22x1?x2?k??k?Z?，所以结论①错误； 2?2??3??2???3sin??1?1,1?是f?x?的对称中心，所以结论②正确；，所以 ??3???②因为f?③由2k???2剟2x??32k???2?k?Z?解得k???12剟xk??5??k?Z?， 12当k?0时，f?x?在???5????5??,?上单调递增，则f?x?在?0,?上单调递增，在?1212??12??5???,?上单调递减，所以结论③错误； ??122?④y?f?x?的图象向右平移
?12个单位长度后所得图象对应的函数为
??????y?3sin?2?x?????1??3cos2x?1，
??12?3?是偶函数，所以图象关于y轴对称，所以结论④正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查三角函数图象与性质的综合应用，难度一般.(1)f?x??Asin??x???的对称
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(2)分析f?x??Asin??x???的中心对应的函数值为0，对称轴对应的函数值为?A；单调性，可令?x??满足y?sinx的单调区间，从而可求f?x?的单调区间.
二、填空题
3?π?13．已知?锐角，且cos?????，则tan??_______．
?2?2【答案】3 【解析】由已知利用诱导公式求得α，进一步得到tanα的值． 【详解】 解：由cos?33?π?，得sinα?， ?α??2?2?2Qα是锐角，?α?60o，
则tanα?3．
故答案为3． 【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，考查由已知三角函数值求角，是基础题． 14．阅读如图所示的程序框图，输出的s值为_________.
【答案】1?2 【解析】根据循环结构程序框图，计算出输出的s的值. 【详解】
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运行程序，s?0,n?1，判断是，s?sin?4?2,n?2，判断是，2s?22?223??sin??1，n?3，判断是，s??1?sin?2?1,n?4，判24224判断是，s?2?1?sin2?1?sin??2?1,n?5，
断是，s?5?2??1,n?6，42判断是，s?26?227??1?sin?,n?7，判断是，s??sin?0,n?8，判242249?2?,n?10，判断是，42断是s?sin2??0,n?9，判断是，s?sins?210?2211??sin??1,n?11，判断是，s??1?sin?2?1,n?12，24224判断否，输出s?1?2. 故答案为：1?2 【点睛】
本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，属于基础题. 15．函数f(x)?cos(2x??)的图像向左平移______. 【答案】
?单位后为奇函数，则?的最小正值为35? 6【解析】先通过平移变换得到新的函数解析式，然后根据新函数为奇函数得到关于?的等式，由此确定?的最小正值. 【详解】
因为f?x?向左平移所以??2???????且g?x?为奇函数， 单位后得到g?x??cos?2x?33??2????k??,k?Z，所以??k??,k?Z，又因为??0，所以当k?13265?时有?min?.
65?故答案为
6.
【点睛】
本题考查根据三角函数的奇偶性求解参数的最值，难度一般.若f?x??sin??x???为
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奇函数，则有??k?,k?Z，若f?x??sin??x???为偶函数，则有??k??2?2,k?Z.
16．已知P为直线l:x?3y?12?0上一点，过P作圆C:?x?2??y2?1的切线，则切线长最短时的切线方程为__________． 【答案】x?3或4x?3y?3?0
【解析】利用切线长最短时，PC取最小值找点P：即过圆心C作直线l的垂线，求出垂足点P?3,3?．就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程． 【详解】
设切线长为L，则L?2PC?1，所以当切线长L取最小值时，PC取最小值，
过圆心C?2,0?作直线l的垂线，则点P为垂足点，此时，直线PC的方程为
3x?y?6?0，
?x?3y?12?0?x?3联立?，得?，点P的坐标为?3,3?.
?3x?y?6?0?y?3①若切线的斜率不存在，此时切线的方程为x?3，圆心C到该直线的距离为1，合乎题意；
②若切线的斜率存在，设切线的方程为y?3?k?x?3?，即kx?y?3?3k?0.
由题意可得2k?3?3kk2?1?3?kk2?1?1，化简得3k?4?0，解得k?4， 3此时，所求切线的方程为y?3?4?x?3?，即4x?3y?3?0. 3综上所述，所求切线方程为x?3或4x?3y?3?0， 故答案为x?3或4x?3y?3?0． 【点睛】
本题考查过点的圆的切线方程的求解，考查圆的切线长相关问题，在过点引圆的切线问题时，要对直线的斜率是否存在进行分类讨论，另外就是将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题．
三、解答题 17．（1）计算sin25?25?25??cos?tan(?) 634第 10 页 共 16 页
?5??cos?????cos(2???)（2）已知tan??2，求值. ?2?sin(????)?cos(??)【答案】（1）0；（2）3
【解析】（1）利用诱导公式即可化简求值；
（2）先对原式化简，分子分母同时除以cosα，即可转化为tanα的式子，代入tanα的值即可算出结果． 【详解】 (1)sin25?25?25????11?cos?tan(?)?sin?cos?tan???1?0； 63463422?5??cos?????cos(2???)sin??cos?tan??12?1(2). ?2?????3sin(????)?cos(??)sin??cos?tan??12?1【点睛】
本题考查运用诱导公式化简求值，考查计算能力，属于基础题.
vva?(1,0)18．已知向量，b?(1,1)．
vvvv（Ⅰ）分别求a?b，a?b的值；
（Ⅱ）当?为何值时，a??b与b垂直？
vvvvva【答案】(1) ?b?1.
(2) 当???vvvv【解析】分析：（1）根据题意结合向量坐标运算，求出a?b??2,1?,a?b??0,?1?，vvvvvv再计算模长即可；（2）a??b与b垂直故a??b?b?0，代入坐标计算即可.
vv1v时，a??b与b垂直.
2??详解：
vvvvvv（Ⅰ）Q a??1,0?，b??1,1?，?a?b??2,1?,a?b??0,?1?，
vvvv于是a?b?5，a?b?1；
（Ⅱ）Q a??b??1??,??，由题意可知：a??b?b?0， 即1?????0，解得???vv?vvv?vv11v，故当???时，a??b与b垂直.
22点睛：考查向量坐标的运算，向量模长，向量的垂直等式关系，对基本公式的定义的熟悉是解题关键，属于基础题.
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19．已知??2?x??2,sinx?cosx?1. 5sinx?cosx?sin2x(1)求的值
1?tanx(2)求sinx?cosx的值.
712 （2）? 2551【解析】（1）由sinx?cosx?两边平方可得sinxcosx，利用同角关系
5【答案】（1）?sinx?cosx?sin2x?sinxcosx；
1?tanx（2）由（1）可知cosx＞0，sinx＜0，从而sinx?cosx??1?2sinxcosx. 【详解】
（1）∵sinx?cosx?∴1?2sinxcosx?1. 5112，即sinxcosx?? 2525sinx?cosx?sin2xsinx?cosx?sinx??， sinx1?tanx1?cosx?sinxcosx?cosx?sinx?sinx?cosx?sinxcosx??12 25（2）由（1）知sinxcosx??∴cosx＞0，sinx＜0， ∴sinx?cosx??【点睛】
12??＜0，又??x? 25222?sinx?cosx?7??1?2sinxcosx??
5本题考查三角函数化简求值，涉及同角三角函数基本关系和整体代入的思想，属于中档题．
20．已知函数f(x)?Asin(?x??3)(A?0,??0)的部分图象如图所示.
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（1）求A和?的值；
（2）求函数y?f(x)在[0,?]的单调增区间；
（3）若函数g(x)?f(x)?1在区间(a,b)上恰有10个零点，求b?a的最大值. 【答案】（1）A?2，??2;（2）[0,?12]和[17?7?,?];（3）. 123【解析】【试题分析】（1）直接依据图像中所提供的数据信息可得
T??2?A?2，???，进而求出??2；（2）依据正弦函数的单调区间解不等式
43124????5??2k???2x??2k??求出单调增区间???x?k??，（k?Z），然
2321212后求出函数y?f?x?在?0,??的单调增区间为?0,????7??,??.（3）先求出函数和???12??12???5?3??f?x??2sin?2x????1中的x?k??或x?k??（k?Z），进而借助周
3124??期性求出b?a的最大值为5T?解：（1）A?2，
2?17??。 33T??2????,??2. 43124?（2）由（1）知f?x??2sin?2x?得k??????3??，令2k???2?2x??3?2k???2，（k?Z）
5???x?k??，（k?Z） 1212,??. 又因为x?0,?，所以函数y?f?x?在0,?的单调增区间为?0,?和?1212????（3）由f?x??2sin?2x?????????7??????5?3???1x?k??x?k??得或（k?Z）. ?3?124函数f?x?在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期， 所以b?a的最大值为5T?vvvv21．已知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a??1,2? vvvv（1）若c?25，且c//a，求c的坐标；
（2）若b?2?17??. 33vvvvvvv5，且a?2b与2a?b垂直，求a与b的夹角?. 2vvvvb?1,1（3）若??，且a与a??b的夹角为锐角，求实数?的取值范围.
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【答案】（1）（2,4）或（-2，-4） （2）π （3）??,0???0,??? 【解析】（1）设c?(x,y)，根据条件列方程组解出即可；
?5?3??rrrrrrr（2）令(a?2b)?(2a?b)?0求出a?b，代入夹角公式计算；
rrrrrra?a??b?03（）利用，且a与a?λb不同向共线，列不等式求出实数?的取值范
??围. 【详解】
解：设c?(x,y)，
rrrr∵c?25，且c//a，
∴??y?2x?0?x?2?x??2，解得或?， ?22y??4x?y?20y?4???rr∴c?(2,4)或c?(?2,?4)； （2）∵a?2b与2a?b垂直， ∴(a?2b)?(2a?b)?0， 即2a2?3a?b?2b2?0，
rrrrrrrrrrrrrr5∴a?b??，
2rra?b∴cos??rr?|a||b|?5?5252??1，
rr∴a与b的夹角为?；
r（3）Qa与a?λb的夹角为锐角
rrrrrrrr则a?a??b?0，且a与a?λb不同向共线，
??rrrr2rr?a?a??b?a??a?b?5?(1?2)??0，
??5， 3rrr若存在t，使a?ta??b，t?0
解得：?????rrQa??b??1,2????1,1??(1??,2??)
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则?1,2??t(1??,2??)，
?t?t??1?t?1??，解得：?， ?2t?t??2???0所以???5且??0， 3?5?实数?的取值范围是??,0???0,???．
?3?【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算，利用数量积研究夹角，注意夹角为锐角，数量积大于零，但不能同向共线，夹角为钝角，数量积小于零，但不能反向共线，本题是中档题． 22．已知以C1为圆心的圆C1:x?y?1.
22（1）若圆C2:(x?1)?(y?1)?4与圆C1交于M,N两点，求|MN|的值；
22uuuuruuur3（2）若直线l:y?x?m和圆C1交于P,Q两点，若PC1?PQ?，求m的值.
2【答案】（1）
214. ；（2）m??22【解析】（1）由两个圆相交，可将两个圆的方程相减求得直线MN的方程.利用圆心到直线的距离，结合垂径定理即可求得|MN|的值.
uuuuruuurPx,y,Qx,y（2）设?11??22?，利用向量的坐标运算表示出PC1,PQ.将直线方程与圆
的方程联立，化简后由???求得m的取值范围，并表示出x1?x2，x1x2，进而由直线方程表示出y1y2.根据平面向量数量积的坐标运算，代入化简计算即可求得m的值. 【详解】
2222（1）直线MN的方程为(x?1)?(y?1)?4?x?y?1?0，
即2x?2 y?1?0；
故圆C1的圆心到2x?2y?1?0的距离d?122，
故|MN|?21?114； ?82uuuuruuur（2）设P?x1,y1?,Q?x2,y2?，则PC1???x1,?y1?,PQ??x2?x1,y2?y1?，
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?y?x?m,由?2化简可得2x2?2mx?m2?1?0， 2?x?y?1,故??4m?8m?1?8?4m?0, 解得?2?m?2，
2?2?2m2?1x1?x2??m，x1x2?,
2所以y1y2??x1?m??x2?m??x1x2?m?x1?x2??m，
2uuuuruuur322又PC1?PQ???x1,?y1???x2?x1,y2?y1???x1x2?y1y2?x1?y1?，
222又x1?y1?1
故x1x2?y1y2??1， 22故2x1x2?m?x1?x2??m??1， 21m2?1222m?1?m?m??将x1?x2??m，x1x2?代入可得， ,22解得m??2.又因为?2?m?2 22 2所以m??【点睛】
本题考查了圆与圆的位置关系及公共弦长度的求法，直线与圆位置关系的综合应用，由韦达定理求参数的值，平面向量数量积的运算，综合性强，计算量大，属于难题.
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