1.不定积分

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微分学的基本问题——从已知函数求出其导数；但在某些实际问题中，往往需要考虑与之相反的问题——已知某一函数，要寻求一个可导函数，使得其导数恰好是已知的函数——此即所谓的积分学基本问题

我们首先学习不定积分的概念，接着学习如何求不定积分，之后学习定积分的概念、可积条件以及如何求定积分，然后学习定积分的推广——反常积分，最后学习定积分的应用！

第一节 不定积分

一. 不定积分的概念：

1．原函数：如果函数F(x)在区间I上可导且?x?I,F?(x)?f(x)即dF(x)?f(x)dx，那么就称F(x)是

f(x)在区间I上的一个原函数

例：

13x是x2在R上的一个原函数；sinx是cosx在R上的一个原函数 311?cos2x， ?cos2x?1，sin2x，?cos2x等都是sin2x在R上的原函数 22 问题1：是不是任何一个函数都有原函数？若不是，那么函数f(x)满足什么条件时才存在原函数？ 问题2：假如函数f(x)存在原函数，那么原函数的个数是否唯一以及该如何求出f(x)的原函数？

? 如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上必存在原函数，亦即连续函数必存在原函数

? 初等函数在其定义域内均连续，所以初等函数在其定义域内必存在原函数，但是初等函数的原函数不一定仍是初等函数

? 不连续的函数也可能存在原函数，亦即连续仅仅是原函数存在的充分非必要条件 ? 如果函数F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么：

? 函数?F(x)?C?也是f(x)在区间I上的原函数，其中C为任意常数。 原函数不唯一 ? 函数f(x)在区间I上的任何一个原函数均可表示成?F(x)?C?的形式。 原函数间的关系 从而：函数f(x)在区间I上的原函数的全体即为：函数族?F(x)?C?，其中C为任意常数 ? 广义原函数：如果函数F(x)在区间I上连续且除有限个点外有F?(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx，

那么就称F(x)是f(x)在区间I上的一个广义原函数

2．不定积分：函数f(x)在区间I上的任意一个原函数都称为f(x)在区间I上的不定积分，记作?f(x)dx其中??积分号，f(x)??被积函数，f(x)dx??被积表达式，x??积分变量 ? 不定积分

??f(x)dx是一个记号，用来表示函数f(x)的任意一个原函数；从而：假如F(x)是f(x)?f(x)dx?F(x)?C，其中C为

在区间I上的一个原函数，那么函数f(x)在区间I上的不定积分

任意常数--------------------------------------------------------------------------------不定积分的本质就是原函数 ? 假如

?f(x)dx?F(x)?C，其中C为任意常数，那么：

2

? ?

?f(x)dx???f(x) d?f(x)dx??f(x)dx ???????dF(x)??F?(x)dx??f(x)dx?F(x)?C，即?f(x)dx??dF(x)?F(x)?C-----------故

在不定积分

?f(x)dx中，被积表达式f(x)dx可以视是原函数F(x)的微分f(x)dx?dF(x)，?可以看作一种运算符号——求一个函数F(x)，使得F(x)的微分就是f(x)dx

从而：积分号

-------------------------------------------------------------------------------求不定积分的本质就是求原函数

? 因dF(x)?d?F(x)?l?，故dF(x)?d?F(x)?l?，其中l为任意常数

??因dF(x)?11?d?k?F(x)?，故?dF(x)???d?k?F(x)?，其中k为任意非零常数 kk3．不定积分的几何意义：如果函数F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么函数y?F(x)的图像称

为f(x)在区间I上的一条积分曲线。于是，函数f(x)在区间I上的不定积分函数f(x)在区间I上的任意一条积分曲线。

例：设曲线过点(1,2)，且其上任一点处的斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程？

?f(x)dx的几何意义为：

4．基本积分公式：C为任意常量；应用基本积分公式的前提是：被积函数和积分变量在形式上保持相同！

1x??10dx?C1dx?dx?x?Cdx?lnx?C xdx??C，???1；；；?????x??1?axxx?adx?lna?C，a?0,a?1；?edx?e?C；?sinxdx??cosx?C；?cosxdx?sinx?C

x1122dx?secxdx?tanx?C；?cos2x??sin2xdx??cscxdx??cotx?C；

?secxtanxdx?secx?C；?cscxcotxdx??cscx?C

?dx1?x2?arcsinx?C1??arccosx?C；?dx?arctanx?C1??arccotx?C 1?x2

?dxx2?1?xdxarch x?C1?ln(x?x2?1)?C；??arsh x?C1?ln(x?x2?1)?C xx2?11dx?th x?C；?sgnxdx?x?C 2chx1sexc(sxe?cxtan)d?x(secxtan)xdx??d?x??d?x?lnse?cxt?anx C ?seccosxsexc?txan?xsecxtan1cscx(cscx?cotx)d(cscx?cotx)dx??dx?????lncscx?cotx?C ?cscxdx??sinxcscx?cotxcscx?cotx二. 求不定积分法则：

?shxdx?chx?C；?chxdx?shx?C；?1. 线性运算法则：如果函数f(x)、g(x)在区间I上均存在原函数，那么任给两个不全为零的实数k1、k2，

3

函数?k1f(x)?k2g(x)?在区间I上也存在原函数且例：

??k1f(x)?k2g(x)?dx?k1?f(x)dx?k2?g(x)dx

?1?x?x22x2x(x?5)dx；?tanxdxsin；；dx??2dx

x(1?x2)2dxcos2x?sin2x??dx??(csc2x?sec2x)dx??cotx?tanx?C ?2222cosxsinxcosxsinxx4?12x32dx??(x?1?2)dx??x?2arctanx?C ?23x?1x?12. 换元积分法则：设函数f(u)在[?,?]上、g(x)在[a,b]上有定义，且?x?[a,b]均有??g(x)??

第一换元积分法：如果函数f(u)在[?,?]上存在原函数F(u)，且函数g(x)在[a,b]上可导，那么函数f?g(x)??g?(x)在[a,b]上也存在原函数且：

?令g(x)?u??f?g(x)??g?(x)dx??f?g(x)?dg(x)???????????u?g(x)??f(u)du?F(u)?C????????F?g(x)??C

其中C为任意常量

第二换元积分法：如果函数f?g(x)??g?(x)在[a,b]上存在原函数F(x)，且?x?[a,b]均有g?(x)?0，那么函数f(u)在[?,?]上也存在原函数且：

因du?g?(x)?0dx?1?????f?g(x)?dg(x)?f?g(x)??g?(x)dx?F(x)?C??????????????????f(u)du??????故x?g(u)存在令u?g(x)?1F??g(u)???C 其中C为任意常量 ? 在第一换元积分法中，将被积函数f?g(x)??g?(x)的某一部分g(x)视为一个整体u，并且将u其

看作一个新的积分变量。使用第一换元积分法的关键：把被积表达式凑成

f?g(x)??g?(x)?f?g(x)??dg(x)形式，此时作变换g(x)?u，即可化积分为：?f(u)du，但最

后注意还原被积变量u为x

? 在第二换元积分法中，用某一函数g(x)来代替其积分变量u。最后注意还原被积变量x为u ? 换元积分法的最终目的：将被积函数变换为容易求得原函数的形式

? 第一换元积分法举例：其中a?0，C为任意常量

?2cos2xdx；?x21dx；?sin2xdx；?cos2xdx； 3?2x2?(2xe?x1?x?tanx)dx；?[113x?e]dx

x(1?2lnx)x 4

?dxa?x22???x?d??dx1x?a??1arctanx?C；

??arcsin?C；?22??x?2a2x?aaaa?x?1???1????a??a??x?d???a?dx1?11?1a?xdx1a?x；类似，??dx?ln?C??ln?C ?22?a2?x2?2a??2aa?xx?a2aa?x?a?xa?x??secxdx???cscxdx??

dxcosxdsinx11?sinx??dx???1?sin2x2ln1?sinx?C?lnsecx?tanx?C cosxcos2x1sinxdcosx11?cosxdx??2dx?????ln?C??lncscx?cotx?C2sinxsinx1?cosx21?cosxdx111x?1?dx?d(x?1)?arctan?C ?x2?2x?3?x2?2x?1?2?(x?1)2?(2)222? 第二换元积分法举例：其中a?0，C为任意常量

?dx； 3x?x? 三角代换：

①被积函数为f(a2?x2)时，可令x?asin?或令x?acos?

?x?arcsin?C

aa2?x2dx解：因为x?(?a,a)，可令x?asin?，??(???,)，dx?acos?d?

22或令x?acos?，??(0,?)，dx??asin?d?

? ???C

????解：因为x?[?a,a]，可令x?asin?，??[?,]，dx?acos?d?

22a2a?xdx?222?xxa2?x2?arcsin?2aa??或令x?acos?，??[0,?]，dx??asin?d?

②被积函数为f(x2?a2)时，可令x?asec?或令x?acsc?

?dxx2?a2?xxarch ?C1?lnx?x2?a2?C xa??(0,解：因为x??a或x?a，可令x?asec?，

或令x?acsc?，??(??)或??(,?)，dx?asec?tan?d?

22??,0)或??(0,)，dx??acsc?cot?d? 22?