专题15 概率与统计（解答题）
1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【答案】（1）a=0.35，b=0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00． 【解析】（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．
b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．
2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束． （1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率． 【答案】（1）0.5；（2）0.1．
【解析】（1）X=2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，
则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．
因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．
（2）X=4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束， 且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分． 因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
3．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望； （2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率． 【答案】（1）分布列见解析，E(X)?2；（2）
2．假定甲、320． 243【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．
【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为故X~B(3,)，从而P(X?k)?C3()()所以，随机变量X的分布列为
2，323k23k133?k,k?0,1,2,3．
X P 0 1 2 3 1 272随机变量X的数学期望E(X)?3??2．
3232 94 98 27（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y， 则Y~B(3,)，且M?{X?3,Y?1}{X?2,Y?0}． 由题意知事件{X?3,Y?1}与{X?2,Y?0}互斥，
且事件{X?3}与{Y?1}，事件{X?2}与{Y?0}均相互独立， 从而由（1）知P(M)?P({X?3,Y?1}{X?2,Y?0})
?P(X?3,Y?1)?P(X?2,Y?0) ?P(X?3)P(Y?1)?P(X?2)P(Y?0)
?824120????． 2799272434．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额（元） （0，1000] 支付方式 仅使用A 仅使用B 18人 10人 9人 14人 3人 1人 （1000，2000] 大于2000 （1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E（X）=1；（3）见解析．
【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100?30?25?5=40人．
所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为（2）X的所有可能值为0，1，2．
记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”． 由题设知，事件C，D相互独立，且P(C)?40?0.4． 1009?314?1?0.4,P(D)??0.6． 3025所以P(X?2)?P(CD)?P(C)P(D)?0.24，
P(X?1)?P(CDCD) ?P(C)P(D)?P(C)P(D)
?0.4?(1?0.6)?(1?0.4)?0.6
?0.52，
P(X?0)?P(CD)?P(C)P(D)?0.24．
所以X的分布列为
X P 0 0.24 1 0.52 2 0.24 故X的数学期望E(X)?0?0.24?1?0.52?2?0.24?1．
（3）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”． 假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化， 则由上个月的样本数据得P(E)?答案示例1：可以认为有变化． 理由如下：
11?． C3406030P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．
一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化． 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下： 事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生， 但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．
5．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得?1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得?1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i?0,1,,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为
,7)，其中
甲药比乙药更有效”的概率，则p0?0，p8?1，pi?api?1?bpi?cpi?1(i?1,2,
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