高数同济第六版课后习题总复习三

总习题三 1. 填空:

x 设常数k?0, 函数f(x)?lnx??k在(0, ??)内零点的个数为________.

e2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:

设在[0, 1]上f ??(x)?0, 则f ?(0), f ?(1), f(1)?f(0)或f(0)?f(1)几个数的大小顺序为( ). (A)f ?(1)?f ?(0)?f(1)?f(0); (B)f ?(1)?f(1)?f(0)?f ?(0); (C)f(1)?f(0)?f ?(1)?f ?(0); (D)f ?(1)?f(0)?f(1)?f ?(0).

3. 列举一个函数f(x)满足: f(x)在?a??b?上连续??在(a?b)内除某一点外处处可导??但在(a??b)内不存在点? ??使f(b)?f(a)?f ?(?)(b?a).

4. 设limf?(x)?k, 求lim[f(x?a)?f(x)].

x??x??

5. 证明多项式f (x)?x3?3x?a在[0, 1]上不可能有两个零点. 6. 设a0?aa1? ? ? ? ?n?0, 证明多项式f(x)?a0?a1x???????anxn在(0,1)内至少有一个零点. 2n?1

7. 设f(x)在[0, a]上连续, 在(0, a)内可导, 且f(a)?0, 证明存在一点??(0, a), 使

f(?)??f ?(?)?0.

8. 设0

??(a??b)使f(a)?f(b)??f?(?)ln.

9. 设f(x)、g(x)都是可导函数, 且|f ?(x)|a时, |f(x)?f(a)|

10. 求下列极限:

x?xx(1)lim; x?11?x?lnxba (2)lim[x?011?];

ln(1?x)x

2 (3)lim(arctanx)x.

x????

1lim[(a1xx??1?a2x1? ? ? ? ?anx(4)

)/n]nx(其中a1??a2??? ? ?, an>0)??

?????

11. 证明下列不等式?

(1)当0?x1?x2?

(2)?当x>0时, ln(1?x)?arctanx. 1?x?2时?

tanx2x2?; tanx1x1

13. 求椭圆x2?xy ?y2?3上纵坐标最大和最小的点.

14. 求数列{nn}的最大项.

15. 曲线弧y?sin x (0

16. 证明方程x3?5x?2?0只有一个正根. 并求此正根的近似值??使精确到10?3?????????

17. 设f ??(x0)存在, 证明limh?0f(x0?h)?f(x0?h)?2f(x0)h2?f??(x0).

18. 设f (n)(x0)存在, 且f (x0)?f ?(x0)??? ? ? ?f (n)(x0)?0, 证明f(x)?o[(x?x0)n] (x?x0).

19? 设f(x)在(a? b)内二阶可导, 且f ??(x)?0. 证明对于(a? b)内任意两点x1, x2及0?t?1, 有f[(1?t)x1?tx2]?(1?t)f(x1)?tf(x2).

20. 试确定常数a和b, 使f(x)?x?(a?b cos x)sin x为当x?0时关于x的5阶无穷小.