初中数学竞赛辅导资料（59）
“或者”与“并且”
甲内容提要
1.“或者”与“并且”的词义是清楚的，区别也是明显的. 例如：
① 正整数a是3或5的倍数，那么a=3, 5, 6, 9, 10, 12, 15……；
如果正整数b是3的倍数且是5的倍数，那么b=15，30，45，60，……. 在正整数中，设3的倍数的集合为P，5的倍数集合为Q，那么 ： a 是P和Q两个集合中的所有元素，而b是这两个集合中的公共元素. ② 是方程x+y=1的一个解. 这里的大括号表示“并且”即当
x=2并且y=－1时，等式x+y=1成立. 等价于x=2并且y=－1. 记作 x=2并且y=－1.
x=2, x=－2是方程x2－4=0 的两个解. 即当x=2或者x=－2时，等式x2－4=0成立. x=2或x=－2 可记作 x=±2 . 即 x=±2 x=2或x=－2.
2. 用“或者”与“并且”表示命题的等价命题.
①.x≥4x>4或x=4.
②.－4
④.x≠±2x≠2且x≠－2
x<－2 或－2< x<2 或x>2 (实数x记在数轴上)如图：
－2 0 2
3. 判断带有“或者”词义的命题的真假：
第一种，命题结论带有“或者”的. 例如：
⑤ 命题3≥2，读作3大于2或等于2，它是真命题. 因为“3大于2”， “3等于2”两个命题，用“或者”连结，只要有一个成立，就是真命题. ⑥命题“如果a=0,那么a2≥0”，也是真命题，因为这个命题等价于： 若a=0, 则a2>0或a2=0，两个结论，用“或者”连结，有一个成立即可. 第二种，命题的题设出现“或者”的. 例如
⑦ 命题“如果a≥0，则a2=0”. 读作如果a=0或a>0, 则a2=0. 它是假命题 为命题的两个题设都使结论成立是不可能的. 这个命题等价于： 若a=0,则a2=0且若a>0，则a2=0. 两个命题要同时成立才是真命题. ⑧ 方程和方程组的解：
方程( x－a)(x－b)=0， 同解于x－a=0或者x－b=0.
方程组 同解于x－a=0并且x－b=0. ⑨ 不等式和不等式组的解集：
不等式组 等价于x+a>0并且x+b>0. 不等式(x+a)(x+b)>0 等价于 或者
因
乙例题
例1.写出下列命题的等价命题：
①实数a, b, c都不为零； ②实数a,b,c不都为零； ③x=±3且y＝±2；
④
解：①. a, b, c都不为零.a≠0且b≠0且c≠0.abc≠0.
②. a, b, c不都为零a, b, c中至少有一个不为零.
a≠0或b≠0或c≠0. 不是a, b, c都等于零. a2+b2+c2≠0.
③. x=±3且y＝±2
或或或 ④. 或
例2. 解方程组
解：由x2=4，得x=±2.
把x=±2.代入4＋y2=6， 得y=±.
∴原方程组的解是
即原方程组有四个解：
例3. 已知：a, b, c是△ABC的三边，试按下列条件判定三边之间的大小关系： ① （a－b）(b－c)=0 ； ②（a－b）2+(b－c)2=0.
解：① ∵当a－b=0或b－c=0时，等式成立.
∴a, b, c三边的大小关系是：
a=b；或b=c；或a=b=c.
② ∵当（a－b）2＝0且(b－c)2＝0时，等式成立.
∴
∴a, b, c三边的大小关系是：a=b=c.
例4. x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义？ ①； ②.
解：① 有意义.
这个不等式组的解集，是 －1≤x≤3. ∴当－1≤x≤3时，有意义. ② 有意义.
∴这个不等式组的解集，是：x≥0且x≠16.
0 16
即当0≤x＜16或x>16时，有意 义.
例5. 绝对值的几何意义是：在数轴上，一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.根据上述定义，解不等式：①＜5； ②＞3.
解：① ＜5，就是表示x 的点离开原点的距离小于5. （如图）
即 x>－5且x<5.
∴＜5的解集是－5＜x＜5. －5 0 5 ② ＞3，就是表示y的点离开原点的距离大于3. （如图）
－3 0 3
即y<－3 或y>3.
∴＞3的解集，是；y<－3 或y>3 .
例6. 已知：方程无解.
求：t的值. （1987年泉州市初二数学双基赛题） 解：去分母，得x+2+t(x －2)=0.
整理为关于x的一次方程， (t+1)x=2(t－1). 当 时，原方程无解.
解这个方程组，得： t=－1；
当x=2 或x=-2时原方程也无解.（∵这是增根）. 分别以x=2， x=－2代入方程 (t+1)x=2(t－1).
当x=2，t无解； 当x=－2 时， t=0. 综上所述，
当t=－1 或t=0 时，方程无解.
丙练习59 1. 填空：
① 当a=＿＿＿＿＿＿＿ 时， 没有意义. ② 当x＿＿＿＿＿＿＿＿时， 有意义.
③ 当x＿＿＿＿＿＿＿＿时，在实数范围内有意义. ④ 当整数b=__________ 时，的值是整数.
⑤ 方程x+y=2 的正整数解是＿＿＿＿＿＿，非负整数解是＿＿＿＿＿＿＿＿. ⑥ 平面内不重合的两条直线的位置关系有＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ⑦ 经过一点有一条＿＿只有一条直线和已知直线垂直. 2. 用“或者”或“并且”连接词写出下列命题的等价命题
① x≠0＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ② a≠±3＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ③ －3＜x≤2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
3. 用含有“或者”或“并且”的连接词叙述下列命题，并判断其真假.
①如果x2=16， 那么x= ±4. ②如果a=±3， 那么=3. ③如果x=0， 那么x2≥0. ④如果y ≥0， 那么y2>0.
⑤如果＜4， 那么－4 ①（x-2）(x+3)=0 ； ②(x+1)(x-2)>0； ③2＜x －1<5. 5. 解方程组 6. 解不等式组 7. 若a是不为0的实数，那么根式的取值范围是什么？ (1989年泉州市初二数学双基赛题) 8. a,b 是实数，若要由a2>b2 能得出a>b, 那么a, b 应满足什么条件？ (1989年泉州市初二数学双基赛题) 9. △ABC中∠A≤∠B≤∠C且2∠C=5∠A，那么∠B的取值范围是什么？ (1989年泉州市初二数学双基赛题) 10. a, b, c 三实数不都是零，可表示为( ) (A) a+b+c ≠0. (B) abc≠0 . (C) a2+b2+c2≠0. (D) ab+bc+ca ≠0. 11. 已知最简根式a 与是同类根式，那么应满足条件的a, b 的值 是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ( 1989年泉州市初二数学双基赛题) 12. 方程=ax+2 有一个负数根且没有正数根，那么a 的取值范围是____________. (1987年全国初中数学联赛题) 返回目录 参考答案
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