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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷4
一、选择题（36分，每小题6分）
本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．
1．已知a为给定的实数，那么集合M={x| x2-3x-a2+2=0，x∈R}的子集的个数为
（A） 1 （B） 2 （C） 4 （D） 不确定
【答】（ C ）
【解】 方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0，方程有两个不相等的实数根．由M有2个元素，得集合M有22=4个子集．
2． 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;
命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点; 命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有
（A） 0个 （B） 1个 （C） 2个 （D） 3个
【答】（ B ）
【解】 只有命题1对． 3．在四个函数y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以?为周期、在(0，是 （A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx|
?)上单调递增的偶函数2 （D）y=lg|sinx|
【答】（ D
）
【解】 y=sin|x|不是周期函数．y=cos|x|=cosx以2?为周期．y=|ctgx|在（0，有y=lg|sinx|满足全部条件．
?）上单调递减．只24．如果满足∠ABC=60°，AC=12， BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是
（A） k=83 （B）0 （D） 0 【答】（ D ） 共有两类如 【解】 根据题设，△ABC 图． B C k C k 60° 12 12 B 60° A A 易得k=83或0 22000， ] 则a0?a3?a6?a9???a1998的值为 （A）3333 （B） 3666 （C） 3999 （D） 32001 【答】（ C ） 【解】 令x=1可得31000=a0?a1?a2?a3???a2000； 令x=?可得0=a0?a1??a2?2?a3?3???a2000?2000； 32（其中???1?3i，则?=1且?+?+1=0） 22令x=?可得0=a0?a1?2?a2?4?a3?6???a2000?4000． 以上三式相加可得310002=3（a0?a3?a6?a9???a1998）． 999所以a0?a3?a6?a9???a1998=3． 6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22 元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（）． （A）2枝玫瑰价格高 （B）3枝康乃馨价格高 （C）价格相同 （D）不确定 【答】（ A ） 【解】 设玫瑰与康乃馨的单价分别为x、y元/枝． 11则6x+3y>24,4x+5y<22.令6x+3y=a>24,4x+5y=b<22,解出x=(5a?3b),y=(3b?2a). 91811所以2x-3y=(11a?12b)?(11?24?12?22)=0，即2x>3y． 99也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究． 二、填空题（54分，每小题9分） 7．椭圆??231的短轴长等于． 2?cos?323213．从而 【解】 ?(0)?a?c?1,?(?)?a?c?1.故a?,c??b?． 2b?333338．若复数z1，z2满足| z1|=2，| z2|=3，3z1-2z2= 33072?i，则z1·z2=??i． 21313【解】 由3z1-2z2=z2?z2?z1?1311z1?z1?z2=z1z2(2z2?3z1) 62 ] 3?i6(3z?2z)6(3z?2z)307212122可得z1z2????6????i．本题也可设三角形式进行运算． 313132z2?3z12z2?3z1?i29．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是【解】 作正方体的截面BB1D1D，则A1C1⊥面 A 1 A1C1与B1D1交于点O，在面BB1D1D内作OH⊥BD1，H为 为A1C1与BD1的公垂线．显然OH等于直角三角形BB1D1一半，即OH= 6． 6O B1 BB1D1D．设 1 垂足，则OHC 1 斜边上高的H D 6． 6A B D C 213710. 不等式的解集为(0,1)?(1,2)?(4,??)． ?2?log1x22【解】 131313?2?或?2??． ?2?等价于 log1x2log1x2log21x222即 1711??． ??或 2log1x2log1x22此时log1x??2或log1x?0或?222?log1x?0． 27∴解为x >4或0 11．函数y?x?x2?3x?2的值域为[1,)?[2,??)． 22732【解】 y?x?x2?3x?2?x2?3x?2?y?x?0． 2y2?23 两边平方得(2y?3)x?y?2，从而y?且x?． 22y?3y2?2y2?3y?23由y?x?y??0??0?1?y?或y?2． 2y?32y?32y2?22任取y?2，令x?，易知x?2，于是x?3x?2?0且y?x?x2?3x?2． 2y?3 ] 3y2?2任取1?y?，同样令x?，易知x?1， 22y?3于是x?3x?2?0且y?x?x?3x?2． 2 F E A B C D 23因此，所求函数的值域为[1,)?[2,??)． 212． 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有 732 种栽种方案． 【解】 考虑A、C、E种同一种植物，此时共有4×3×3×3=108种方法． 考虑A、C、E种二种植物，此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法． 考虑A、C、E种三种植物，此时共有P43×2×2×2=192种方法． 故总计有108+432+192=732种方法． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1=a12，b2=a22，b3=a32（a1 【解】 设所求公差为d，∵a1 解得d=(?2?2) a1.………………………………………………………………5分 而?2?2<0，故a1<0． 2若d=(?2?2) aa1，则q?22?(2?1)2a； 12若d=(?2?2)a1，则q?a2a2?(2?1)2；…………………………………………10分 1但nlim???(b1?b2???bn)?2?1存在，故|q|<1．于是q?(2?1)2不可能． 2从而 a11?(2?1)2?2?1?a21?(22?2)(2?1)?2． 又 ，
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